Ce este int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Răspuns:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Explicaţie:

Această explicație este cam lungă, dar nu am reușit să găsesc o cale mai rapidă de ao face …

Integralul este o aplicație liniară, astfel încât să puteți împărți deja funcția sub semnul integrat.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 ^ ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Primii doi termeni sunt funcții polinomiale, astfel încât acestea sunt ușor de integrat. Îți arăt cum să o faci # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # asa de # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Tu faci exact același lucru pentru # X ^ 3 #, rezultatul este #255/4#.

descoperire #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX # este un pic cam lung și complicat. Mai întâi multiplicați fracțiunea cu #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # și apoi schimbați variabila: să spunem #u = sqrt (x-1) #. Asa de # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # și acum trebuie să găsiți # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Pentru ao găsi, aveți nevoie de descompunerea fracției parțiale a funcției raționale # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

(x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) cu # a, b, c, d în RR #. După calcul, aflăm asta (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^, ceea ce înseamnă că (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # este bine cunoscut, este #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

In cele din urma, (U) - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Înlocuiți # U # prin expresia originală cu #X# a avea #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX #, care este #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

În sfârșit, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #