Ce este un vector propriu? + Exemplu

Răspuns:

Dacă vectorul # V # și transformarea liniară a unui spațiu vectorial #A# sunt de așa natură încât #A (v) = k * v # (unde constanta # # K se numește eigenvalue), # V # este numit un eigenvector de transformare liniară #A#.

Explicaţie:

Imaginați-vă o transformare liniară #A# de întindere a tuturor vectorilor cu un factor de #2# în spațiul tridimensional. Orice vector # V # ar fi transformat în # # 2V. Prin urmare, pentru această transformare sunt toate vectorii vectorii proprii cu eigenvalue de #2#.

Luați în considerare o rotire a unui spațiu tridimensional în jurul axei Z cu un unghi de # 90 ^ o #. Evident, toți vectorii, cu excepția celor de-a lungul axei Z, vor schimba direcția și, prin urmare, nu pot fi vectorii proprii. Dar vectorii de-a lungul axei Z (coordonatele lor sunt de formă # 0,0, z #) își vor menține direcția și lungimea, deci sunt vectorii proprii cu eigenvalue de #1#.

În cele din urmă, ia în considerare o rotație prin # 180 ^ o # într-un spațiu tridimensional în jurul axei Z. Ca și mai înainte, toate vectorii axei Z lungi nu se vor schimba, așa că sunt vectorii proprii cu eigenvalue de #1#.

În plus, toți vectorii din planul XY (coordonatele lor sunt de formă # X, y, 0 #) va schimba direcția spre opus, păstrând în același timp lungimea. Prin urmare, ele sunt, de asemenea vectorii proprii cu valori proprii de #-1#.

Orice transformare liniară a unui spațiu vectorial poate fi exprimată ca multiplicare a unui vector printr-o matrice. De exemplu, primul exemplu de stretching este descris ca multiplicare printr-o matrice #A#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

O astfel de matrice, înmulțită cu orice vector # V = {x, y, z} # va produce # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Acest lucru este în mod evident egal cu # 2 * v #. Deci avem

# A * v = 2 * v #, ceea ce demonstrează că orice vector # V # este un eigenvector cu un eigenvalue #2#.

Al doilea exemplu (rotația prin # 90 ^ o # în jurul axei Z) poate fi descrisă ca multiplicare printr-o matrice #A#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

O astfel de matrice, înmulțită cu orice vector # V = {x, y, z} # va produce # A * v = {- y, x, z} #, care poate avea aceeași direcție ca vectorul original # V = {x, y, z} # doar dacă # X = y = 0 #, adică dacă vectorul original este direcționat de-a lungul axei Z.