Cum găsiți zona delimitată de curbele y = -4sin (x) și y = sin (2x) în intervalul închis de la 0 la pi?

Răspuns:

A evalua

# Int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Zona este: #8#

Explicaţie:

Zona dintre două funcții continue #f (x) # și #G (x) # peste #x în a, b # este:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Prin urmare, trebuie să găsim când #f (x)> g (x) #

Fie curbele funcțiile:

#f (x) = - 4sin (x) #

#G (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Știind că #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Împarte la #2# care este pozitiv:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Împarte la # # Sinx fără a inversa semnul, deoarece #sinx> 0 # pentru fiecare #x în (0, π) #

# -2> cos (x) #

Ceea ce este imposibil, deoarece:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Deci declarația inițială nu poate fi adevărată. Prin urmare, #f (x) <= g (x) # pentru fiecare #x în 0, π #

Integolul se calculează:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#