Zona delimitată de curba y = 3 + 2x-x ^ 2 și linia y = 3 se rotește complet în jurul liniei y = 3. Găsiți volumul de solid de revoluție obținut?

Răspuns:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Zona reprezintă soluția acestui sistem:

# {(Y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

Și este schițată în acest complot:

Formula pentru volumul unei rotații solide în axa x este:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Pentru a aplica formula, ar trebui să traducem jumătatea lunii pe axa x, zona nu se va schimba și astfel nu se va schimba și volumul:

# Y = -x ^ 2 + 2x + 3color (roșu) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# Y = 3color (roșu) (- 3) = 0 #

În felul acesta obținem #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Zona tradusă este acum reprezentată aici:

Dar care sunt a și b integratului? Soluțiile sistemului:

# {(Y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Asa de # a = 0 și b = 2 #.

Să rescriem și să rezolvăm integral:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Și această "lămâie" este solidul obținut: