X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Cum de a rezolva pentru x?

Răspuns:

# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Explicaţie:

Din moment ce această sferă nu are rădăcini raționale (și nu pot fi deranjată de formule), începem prin metoda lui Newton de aproximare a rădăcinilor:

# x # -0.303 ~~

# x # -0.618 ~~

# x # 1.618 ~~

# x # 3.303 ~~

Dintre acestea, vedem asta # x # -0.618 ~~ și # x # 1.618 ~~ a iesi in evidenta. Recunoastem acestea ca raportul de aur:

# X = (1 + -sqrt5) / 2 #

De asemenea, putem verifica dacă acestea sunt rădăcini conectându-le la ecuație, dar puteți să-mi luați cuvântul că sunt într-adevăr rădăcini.

Aceasta înseamnă că următorul este un factor al ecuației:

# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = X ^ 2-x-1 #

Din moment ce știm # X ^ 2-x-1 # este un factor, putem folosi diviziunea lungă de polinomă pentru a afla restul și a rescrie ecuația:

# (X ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Am dat deja seama când factorul din stânga este egal cu zero, așa că acum ne uităm la dreapta. Putem rezolva patratul folosind formula patratică pentru a obține:

# X = (3 + -sqrt13) / 2 #