Dovada ca numarul sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) nu este rational pentru nici un numar natural n mai mare de 1?

Răspuns:

Vezi explicația …

Explicaţie:

Presupune:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # este rațională

Apoi pătratul trebuie să fie rațional, adică

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

și, prin urmare, este:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Putem pătrunde și scădea în mod repetat, pentru a constata că următoarele trebuie să fie raționale:

{sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):

prin urmare # ^ 2 # n = k pentru un număr întreg pozitiv #k> 1 # și:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Rețineți că:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1)

prin urmare # K ^ 2 + k-1 # nu este pătratul unui număr întreg și #sqrt (k ^ 2 + k-1) # este irațional, contrazicând afirmația noastră #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # este rațională.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

presupunând

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # cu # P / q # ne-reductibile avem

#sqrtn = (cdoturi ((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdoturi - (n-1)) = P / Q #

care este un absurd, deoarece în conformitate cu acest rezultat, orice rădăcină pătrată a unui întreg pozitiv este rațională.