Care sunt valorile lui r (cu r> 0) pentru care seria converge?

Răspuns:

#R <1 / e # este condiția pentru convergența dintre #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Explicaţie:

Voi răspunde doar la partea despre convergență, prima parte fiind răspunsată în comentarii. Putem folosi # R ^ ln (n) = n ^ ln (r) # pentru a rescrie suma #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # în formă

(n = 1) ^ o ^ ^ ^ (r) = suma_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {

Seria din dreapta este forma de serie pentru faimoasa funcție Riemann Zeta. Este bine cunoscut faptul că această serie converge atunci când #p> 1 #. Folosind acest rezultat da direct

# -in (r)> 1 implică ln (r) <- 1 implică r <e ^ -1 = 1 / e #

Rezultatul despre funcțiile lui Riemann Zeta este foarte bine cunoscut, dacă vreți ab initio răspuns, puteți încerca testul integral pentru convergență.