Dovedeste ca daca 1

Dovedeste ca daca 1
Anonim

Răspuns:

Vezi explicația

Explicaţie:

Lăsa A = p / q Unde P și Q sunt numere întregi pozitive.

1ltp / q prin urmare Qltp. P / qlt2 prin urmare Plt2q. Prin urmare Qltplt2q.

A + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2

(Q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) *

(2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2)

(4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2)

4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2

4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2

2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2

2lta + 1 / alt5 / 2

5 / 2lt6 / 2

5 / 2lt3

2lta + 1 / alt3

~~ Mai multe teme avansate înainte ~ ~

* Aceasta presupune asta ca P creșteri, (P + q) ^ 2 / (pq) crește. Acest lucru poate fi verificat intuitiv, analizând graficul Y = (+ q x) ^ 2 / (xq) pe x în (q, 2q) pentru diferite valori pozitive ale Q , sau prin procesul de calcul de mai jos.

~

Del / (DELP) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (DELP) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (DELP) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (DELP) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) .

Pe p în (q, 2q) :

De cand Pgtqgt0, P ^ 2gtq ^ 2 prin urmare P ^ 2-q ^ 2gt0 .

De cand Q> 0 , P ^ 2qgt0

De cand P ^ 2-q ^ 2gt0 și P ^ 2qgt0, (P ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0

De cand Del / (DELP) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) și (P ^ 2q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 , Del / (DELP) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0

Prin urmare (P + q) ^ 2 / (pq) este în creștere pentru constantă Q și Qltplt2q deoarece Del / (DELP) (p + q) ^ 2 / (pq) este pozitiv.

~~~~

Răspuns:

În descriere

Explicaţie:

Constrângere de aici (1):

1 <a <2

Constrângerea (2):

Prin teorema reciprocă, 1/1> 1 / a> 1/2

1> a> 1/2

În constrângerea 1 adăugați 1 pe ambele părți, 1 + 1 <a + 1 <2 + 1

2 <a + 1 <3

color (roșu) (a + 1 <3)

În aceeași constrângere adăugați 1/2

(1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2)

Rețineți din nou că, 2 <2+1/2

Asa de A + o jumătate trebuie să fie mai mică de 2

color (roșu) (a + 1/2) <2

Prin urmare, în constrângere 2, 1> a> 1/2

Adăugați o pe ambele părți, 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a

3> a + 1 / a> 2

2 <a + 1 / a <3

Am făcut-o pentru asta A + 1 <3

Asa de A + 1 / a trebuie să fie mai mică de 3.

Din nou A + 1/2 <2 dar în această constrângere a + 1 / a> a + 1/2

Asa de, A + 1 / a trebuie să fie mai mare de 2.

Prin urmare, 1> 1 / a> 1 2

Prin adăugarea unui pe ambele părți, 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2

3> a + 1 / a> 2

2 <a + 1 / a <3 demonstrat