Cum rezolvați sistemul x ^ 2 + y ^ 2 = 9 și x-3y = 3?

Răspuns:

Există două soluții la acest sistem: punctele #(3,0)# și #(-12/5, -9/5)#.

Explicaţie:

Acesta este un sistem interesant de probleme de ecuații, deoarece oferă mai mult de o soluție per variabilă.

De ce se întâmplă acest lucru este ceva ce putem analiza chiar acum. Prima ecuație este forma standard pentru un cerc cu rază #3#. A doua este o ecuație ușor dezordonată pentru o linie. Curățat, ar arăta astfel:

# y = 1/3 x - 1 #

Atât de natural, dacă considerăm că o soluție la acest sistem va fi un punct în care linia și cercul se intersectează, nu ar trebui să fim surprinși să aflăm că vor exista două soluții. Unul când linia intră în cerc, iar alta atunci când pleacă. Vedeți acest grafic:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2-9) ((1/3) x-1-y) = 0 -10,10,5-5

Mai întâi începem prin manipularea celei de a doua ecuații:

# x - 3y = 3 #

# x = 3 + 3y #

Putem introduce acest lucru direct în prima ecuație de rezolvat pentru # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

# y (9 + 5y) = 0 #

Evident, această ecuație are două soluții. Unul pentru #y = 0 # și altul pentru # 9 + 5y = 0 # care înseamnă #y = -9 / 5 #.

Acum putem rezolva problema #X# la fiecare dintre acestea # Y # valori.

Dacă # Y = 0 #:

# x - 3 * 0 = 3 #

# x = 3 #

Dacă #y = -9 / 5 #:

# x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

# x = -12 / 5 #

Deci cele două soluții noastre sunt punctele: #(3,0)# și #(-12/5, -9/5)#. Dacă te uiți înapoi la grafic, poți vedea că acestea corespund în mod clar celor două puncte la care linia traversează cercul.