Se știe că ecuația bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 are o rădăcină reală. Dovada că ecuația x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nu are rădăcini reale.

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Rădăcinile pentru # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # sunteți

# x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 / (2b)

Rădăcinile vor fi coincide și reale dacă

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

# A = b # sau # a = 5b #

Acum rezolvând

# X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # noi avem

# x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Condiția pentru rădăcini complexe este

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

acum a face #a = b # sau # a = 5b # noi avem

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

În concluzie, dacă # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # are rădăcini reale coincide atunci # X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # vor avea rădăcini complexe.

Ne este dat ca ecuatia:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

are o rădăcină reală, prin urmare discriminantul acestei ecuații este zero:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2-4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2-4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2-4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, sau # a = 5b #

Căutăm să arătăm ecuația:

(a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nu are rădăcini reale. Acest lucru ar necesita un discriminant negativ. Discriminant pentru această ecuație este:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# a a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Și acum, să luăm în considerare cele două cazuri posibile care satisfac prima ecuație:

Cazul 1: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

(b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# b b = 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 0 #

Cazul 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

(5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 0 #

Prin urmare, condițiile primei ecuații sunt de așa natură încât a doua ecuație are întotdeauna un discriminant negativ și, prin urmare, are rădăcini complexe (adică nu există rădăcini reale), QED