Cum găsiți z, z ^ 2, z ^ 3, z ^ 4 dat z = 1/2 (1 + sqrt3i)?

Răspuns:

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3)

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = 1 #

# z ^ 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3)

Explicaţie:

Cea mai ușoară metodă este de a folosi teorema lui De Moivre. Pentru numărul complex # Z #

# z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

Așadar, vrem să transformăm numărul nostru complex în formă polară. Modulul # R # de un număr complex # A + bi # este dat de

# r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

#r = sqrt ((1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 3/4) = 1 #

Numărul complex va fi în primul cvadrant al unei diagrame Argand, astfel argumentul este dat de:

# theta = tan ^ (- 1) (b / a) #

(= 1) (sqrt (3) / 2) / (1/2)) = tan ^ (- 1) (sqrt (3)

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3)

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = 1 #

# z ^ 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3)