Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Răspuns:

Există o extremă la #(3,3,27)#

Noi avem:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

Și deci derivăm derivatele parțiale:

# (parțial f) / (parțial x) = y - 27 / x ^ 2 # și (parțial f) / (parțial y) = x - 27 / y ^ 2 #

La puncte extreme sau șa avem:

# (parțial f) / (parțial x) = 0 # și # (parțial f) / (parțial y) = 0 # simultan:

adică o soluție simultană de:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Scăderea acestor ecuații oferă:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Putem elimina # x = 0; y = 0 # Așadar # X = y # este singura soluție validă, care duce la:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

Si cu # X = y = 3 #, noi avem:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Prin urmare, există doar un punct critic care apare la (3,3,27) care poate fi văzut pe acest complot (care include planul tangent)