Care este diferența dintre un antiderivativ și un integral?

Nu există diferențe, cele două cuvinte sunt sinonime.

Depinde de câteva lucruri. Care antiderivativă, generală sau particulară? care definitiv integral sau nedefinit? Și cine cerem?

Anvergura generală și integritatea nedefinită:

Mulți matematicieni nu disting integritatea nedefinită și cea generală antiderivativă. În ambele cazuri, pentru funcții # F # raspunsul este #F (x) + C # Unde #F '(x) = f (x) #..

Unii (de exemplu, scriitorul de cărți James Stewart) fac o distincție. Ce se referă la Stewart ca fiind "cel mai general" antiderivativ al lui # F #, admite constante diferite la fiecare discontinuitate a lui # F #. De exemplu, el ar răspunde că cel mai general antiderivativ al lui # 1 / x ^ 2 # este o funcție definită pe piesă:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # pentru #X <0 # și # (- 1) / x + C_2 # pentru #X> 0 #.

Integralul nedeterminat al # F #, în acest tratament, este întotdeauna un antiderivant pe un anumit interval de timp # F # este continuă.

Asa de #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, unde se înțelege că domeniul este limitat la un anumit subset al realelor pozitive sau al unui subset al realelor negative.

Antiderivative particulare

O particulară antiderivativă a # F # este o funcție # F # (mai degrabă decât o familie de funcții) pentru care #F '(x) = f (x) #.

De exemplu:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # pentru #X <0 # și # (- 1) / x + 1 # pentru #X> 0 #.

este un antiderivativ particular #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Și:

#G (x) = (- 1) / x-3 # pentru #X <0 # și # (- 1) / x + 6 # pentru #X> 0 #.

este un alt antiderivativ particular #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Definitii integrale

Integratul definitiv al # F # din #A# la # B # nu este o funcție. Este un număr.

De exemplu:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Pentru a complica mai mult lucrurile, acest integral integrat poate fi găsit, utilizând Teorema Fundamentală a Calculului, Partea a 2-a, prin găsirea mai întâi a unui prim nedefinit integral / general antiderivativ, apoi a face cevaaritmetic.)

Întrebarea dvs. este legată de ceea ce a fost cu adevărat "insight-ul cheie" în dezvoltarea calculului de către Isaac Newton și Gottfried Leibniz.

Concentrându-ne pe funcții care nu sunt niciodată negative, această înțelegere poate fi formulată astfel: "Pot să folosim antiderivativele găsi zone (integrale) și zone (integrale) pot fi utilizate pentru a defini antiderivative ". Aceasta este esența teoriei fundamentale a calculului.

Fără a vă îngrijora cu privire la sumele lui Riemann (la urma urmei, Bernhard Riemann a trăit aproape 200 de ani după Newton și Leibniz oricum) și luând noțiunea de zonă ca un concept intuitiv (nedefinit), pentru o funcție non-negativă continuă #f (x) geq 0 # pentru toți #X# cu #a leq x leq b #, gândiți-vă doar la simbolul integrat definit # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # reprezentând aria de sub graficul # F # și mai sus #X#- între # x = un # și # X = b #. Dacă o altă funcție # F # pot fi găsite astfel încât #F '(x) = f (x) # pentru toți #a leq x leq b #, atunci # F # este numit un antiderivativ al # F # pe parcursul intervalului # A, b # și diferența #F (b) -F (a) # este egal cu valoarea integrala definita. Acesta este, (x) dx = F (b) -F (a) #. Acest fapt este util pentru descoperire valoarea unei zone integrate definite atunci când se poate găsi o formulă pentru un antiderivant.

În schimb, dacă facem limita superioară a simbolului integral o variabilă, sunați-o # T #, și defini o funcție # F # prin formula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (asa de #F (t) # este într-adevăr zona sub graficul lui # F # între # x = un # și # X = t #, presupunând #a leq t leq b #), atunci această nouă funcție # F # este bine definită, se poate diferenția și #F '(t) = f (t) # pentru toate numerele # T # între #A# și # B #. Am folosit o parte integrantă defini un antiderivativ al # F #. Acest fapt este util pentru aproximarea valorilor unui antiderivant atunci când nu poate fi găsită nici o formulă pentru el (folosind metode numerice de integrare, cum ar fi regula lui Simpson). De exemplu, este folosit tot timpul de către statisticiani atunci când aproximează zonele aflate sub curba normală. Valorile unei antiderivative speciale a curbei normale standard sunt adesea date într-un tabel din cărțile de statistică.

În cazul în care # F # are valori negative, integritatea definită trebuie să fie gândită în termeni de "zone semnate".