Cum de a calcula suma de acest lucru? suma_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Luand in considerare #abs x <1 #

(n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 ^ ^ / #

dar # suma_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (x) și

# d ^ 2 / (dx ^ 2) suma_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / atunci

(n = 1) x n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Răspuns:

(n = 1) x n = (2x2) / (1 + x) ^ 3 # cand # | X | <1 #

Explicaţie:

Începem prin a scrie câțiva dintre coeficienții:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^

Primul lucru pe care dorim să îl analizăm este coeficienții (gradul de #X# poate fi ușor ajustat prin multiplicarea și împărțirea seriei prin #X#, deci nu sunt la fel de importante). Vedem că toți sunt multiplii de două, deci putem scoate un factor de două:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Coeficienții din interiorul acestei paranteze pot fi recunoscuți ca serii binomiale cu o putere de # Alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alphax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Observăm că exponenții tuturor termenilor din paranteză sunt mai mari cu două în comparație cu seria pe care tocmai am derivat-o, deci trebuie să înmulțim # X ^ 2 # pentru a obține seria potrivită:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Aceasta înseamnă că seria noastră este (atunci când converge) egală cu:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Doar pentru a verifica dacă nu am făcut o greșeală, putem folosi rapid seria binomială pentru a calcula o serie pentru # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Putem descrie acest model astfel:

(N = 0) ^ 0 (-1) ^ nn (n = 0) ^ n (n) n-1) x ^ n #

Deoarece primul termen este just #0#, putem scrie:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

care este seria cu care am început, verificând rezultatul nostru.

Acum, trebuie doar să găsim intervalul de convergență, pentru a vedea când seria are de fapt o valoare. Putem face acest lucru prin analizarea condițiilor de convergență pentru seria binomică și a constatării că seria converge atunci când # | X | <1 #