Triunghiul A are o suprafață de 4 și două laturi cu lungimile 8 și 4. Triunghiul B este similar cu triunghiul A și are o latură cu o lungime de 13. Care sunt zonele maxime și minime posibile ale triunghiului B?

Răspuns:

# "Max" = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~ ~ 4.762 #

Explicaţie:

Lăsați vârful triunghiului #A# să fie etichetate # P #, # Q #, # R #, cu #PQ = 8 # și #QR = 4 #.

Folosind Formula lui Heron,

# "Zonă" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR), Unde

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # este jumătatea perimetrului,

noi avem

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

Prin urmare,

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) {{12 + PQ} / 2-PQ)

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)

# = "Zonă" = 4 #

Rezolvă pentru # # C.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2-16)} = 16 #

# (PQ ^ 2-144) (PQ ^ 2-16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Finalizați pătratul.

# ((PQ ^ 2) ^ 2-80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2-80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # sau # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 # sau

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4,246 #

Acest lucru arată că există 2 tipuri posibile de triunghi care îndeplinesc condițiile date.

În cazul suprafeței max pentru triunghi, dorim ca partea cu lungimea 13 să fie similară celei laterale PQ pentru triunghiul cu #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4,246 #.

Prin urmare, raportul scară liniară este

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~ ~ 3,061 #

Prin urmare, zona este mărită la un factor care reprezintă pătratul raportului de scală liniară. Prin urmare, triunghiul cu suprafața maximă B poate fi

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

În mod similar, în cazul zonei min pentru triunghiul fie, dorim ca partea cu lungimea 13 să fie similară cu partea PQ pentru triunghiul cu #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 #.

Prin urmare, raportul scară liniară este

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~ ~ 1,091 #

Prin urmare, zona este mărită la un factor care reprezintă pătratul raportului de scală liniară. Prin urmare, triunghiul B min poate avea

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #