Întrebarea # ba262

Răspuns:

Dovada este lungă, dar ușor de gestionat. Vezi mai jos.

Explicaţie:

Când încearcă să demonstreze identitățile trigonale care implică fracțiuni, este întotdeauna o idee bună să adăugați mai întâi fracțiile:

# Sint / (1-cost) + (1 + cost) / = Sint (2 (1 + cost)) / # Sint

# -> Sint / (1-cost) sint / + sint (1 + cost) / Sint (1-cost) / (1-cost) = (2 (1 + cost)) / # Sint

# -> păcat ^ 2t / ((1-cost) (sint)) + ((1 + cost) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / # Sint

# -> (sin ^ 2t + (1 + cost) (1-cost)) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / # Sint

Expresia # (1 + cost) (1-cost) # este de fapt o diferență de pătrate în deghizare:

# (A + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Cu # A = 1 # și # B = costul #. Se evaluează # (1) ^ 2- (cost) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Putem merge mai departe # 1-cos ^ 2t #. Amintiți-vă de identitatea Pitagoriană de bază:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

scăzând # cos ^ 2x # din ambele părți, vedem:

# Păcat ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

De cand #X# este doar o variabilă placeholder, putem spune asta # Păcat ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. De aceea # (1 + cost) (1-cost) # devine # Păcat ^ 2t #:

# (Sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / # Sint

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + cost)) / # Sint

Rețineți că sines anulează:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-cost) anuleaza ((sint))) = (2 (1 + cost)) / # Sint

# -> (2sint) / (1-cost) = (2 (1 + cost)) / # Sint

Aproape am terminat. Ultimul pas este de a multiplica partea stângă cu conjugatul lui # 1 cost # (care este # 1 + costul #), pentru a profita de diferența de proprietăți pătrate:

# (2sint) / (1-cost) (1 + cost) / (1 + cost) = (2 (1 + cost)) / # Sint

# -> (2sint (1 + cost)) / ((1-cost) (1 + cost)) = (2 (1 + cost)) / # Sint

Din nou, putem vedea asta # (1-cost) (1 + cost) # este o diferență de pătrate, cu # A = 1 # și # B = costul #. Se evaluează # (1) ^ 2- (cost) ^ 2 #, sau # 1-cos ^ 2t #. Am arătat deja asta # Păcat ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, astfel încât numitorul se înlocuiește:

# (2sint (1 + cost)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + cost)) / # Sint

Sines anulează:

# (2cancel (sint) (1 + cost)) / (anula (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + cost)) / # Sint

Și voila, dovada completă:

# (2 (1 + cost)) / = Sint (2 (1 + cost)) / # Sint

Răspuns:

Lasa-ma sa incerc

Explicaţie:

# LHS = Sint / (1-cost) + (1 + cost) / # Sint

Inspectarea RHS luăm în comun# (1 + cost) / # Sint

Asa de

# LHS = (1 + cost) / Sint (sint / (1 + cost) * Sint / (1-cost) +1) #

# = (1 + cost) / Sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + cost) / Sint (sin ^ 2t / păcat ^ 2t + 1) #

# = (1 + cost) / Sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + cost)) / = RHS # Sint

Demonstrat