Se dovedește că această funcție nu are limit x_0 = 0? + Exemplu

Răspuns:

Vezi explicația.

Explicaţie:

Conform definiției lui Heine a unei limite de funcții avem:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n)

Deci, pentru a arăta că o funcție are NU limita la # # X_0 trebuie să găsim două secvențe # {X_n} # și # {Bar (x) _n} # astfel încât

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) = _n x_0 #

și

#lim_ {n -> + oo} f (x_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _n) #

În exemplul dat, astfel de secvențe pot fi:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # și #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Ambele secvențe converg la # X_0 = 0 #, dar conform formulei funcției avem:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

deoarece toate elementele din # # X_n sunt în #1,1/2,1/4,…#

si pentru #bar (x) _n # noi avem:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

dar pentru toți #N> = 2 # noi avem: #f (bar (x) _n) = 1 #

Prin urmare #N -> + oo # noi avem:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Ambele secvențe acoperă # X_0 = 0 #, dar limitele (*) și (**) sunt NU egal, deci limita #lim_ {x-> 0} f (x) # nu exista.

QED

Definiția limitelor poate fi găsită în Wikipedia la:

Răspuns:

Iată o dovadă prin negarea definiției existenței unei limite.

Explicaţie:

Versiune scurta

#f (x) # nu poate aborda un singur număr # L # pentru că în orice cartier #0#, functia # F # ia valori care diferă una de alta prin #1#.

Deci, indiferent de ceea ce propune cineva # L #, există puncte #X# lângă #0#, Unde #f (x) # este cel puțin #1/2# unitate departe de # L #

Versiune lungă

#lim_ (xrarr0) f (x) # există dacă și numai dacă

există un număr, # L # cum ar fi pentru toți #epsilon> 0 #, este un #delta> 0 # astfel încât pentru toți #X#, # 0 <abs (x) <delta # implică #abs (f (x) -L) <epsilon #

Negarea este:

#lim_ (xrarr0) f (x) # nu există dacă și numai dacă

pentru fiecare număr, # L # este o #epsilon> 0 #, astfel încât pentru toți #delta> 0 # este o #X#, astfel încât # 0 <abs (x) <delta # și #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Dintr-un număr # L #, Voi permite #epsilon = 1/2 # (orice mai mic # # Epsilon va funcționa, de asemenea)

Acum dat un pozitiv # Delta #, Trebuie să arăt că există un #X# cu # 0 <absx <delta # și #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (amintiți-vă că #epsilon = 1/2 #)

Având un pozitiv # Delta #, în cele din urmă # 1/2 ^ n <delta # deci există un # # X_1 cu # f (x_1) = 2 #.

Există, de asemenea, un element # x_2 în RR- {1, 1/2, 1/4,… } # cu # 0 <x_2 <delta # și #f (x_2) = 1 #

Dacă #L <= (1/2) #, atunci #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Dacă #L> = (1/2) #, atunci #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #