Întrebarea # f8e6c

Răspuns:

Exprimați-o ca o serie geometrică pentru a găsi suma este #12500/3#.

Explicaţie:

Să exprimăm această sumă:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

De cand #1.12=112/100=28/25#, aceasta este echivalentă cu:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Folosind faptul că # (A / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, noi avem:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

De asemenea, putem trage #500# din semnul de însumare, după cum urmează:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Bine, acum ce este asta? Bine, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # este ceea ce se numește a serii geometrice. Seria geometrică implică un exponent, exact ceea ce avem aici. Lucru minunat despre seria geometrică ca aceasta este faptul că se însumă # R / (1-r) #, Unde # R # este raportul comun; adică numărul care este ridicat la exponent. În acest caz, # R # este #25/28#, deoarece #25/28# este ceea ce este ridicat la exponent. (Notă marginală: # R # trebuie să fie între #-1# și #1#, sau altfel seria nu adaugă nimic.)

Prin urmare, suma acestei serii este:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Tocmai am descoperit asta #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, astfel încât singurul lucru care a mai rămas este să îl înmulțiți #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Puteți afla mai multe despre seria geometrică aici (vă încurajez să vizionați întreaga serie a Academiei Khan pe seria geometrică).