Răspuns:
Consultați explicația de mai jos
Explicaţie:
Funcția este
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Derivații parțiali sunt
# (DELF) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (dely) = 2y + x-3 #
Lăsa # (DELF) / (delx) = 0 # și # (DELF) / (dely) = 0 #
Atunci, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x 3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Este matricea hessiană
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Determinantul este
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Prin urmare, Nu există puncte de șa.
#D (1,1)> 0 # și # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, există un minim local la #(-3,3)#
Răspuns:
Minim local: #(-3,3)#
Explicaţie:
Grupul de puncte care includ ambele extreme și punctele de șa sunt găsite atunci când ambele # (DELF) / (delx) (x, y) # și # (DELF) / (dely) (x, y) # sunt egale cu zero.
presupunând #X# și # Y # sunt variabile independente:
# (DELF) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (dely) (x, y) = x +-2y 3 #
Deci, avem două ecuații simultane, care se întâmplă cu bucurie liniară:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X +-2y 3 = 0 #
Din prima:
# Y = -2x-3 #
Înlocuiți-l pe cel de-al doilea:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Înlocuiți-l înapoi în primul:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Deci, există un punct în care primele derivații devin uniform, în mod uniform, zero, fie un extremum, fie o șa, la # (X, y) = (- 3,3) #.
Pentru a deduce care, trebuie să calculăm matricea derivatelor secundare, matricea hessiană (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Prin urmare
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Toate instrumentele derivate din a doua ordine sunt uniform constante indiferent de valorile lui #X# și # Y #, astfel încât nu este nevoie să calculați în mod specific valorile pentru punctul de interes.
NB Ordinea diferențierii nu contează pentru funcțiile cu derivate secundare continue (Teorema lui Clairault, aplicație aici: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), așa că ne așteptăm ca # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, după cum vedem în rezultatul nostru specific de mai sus.
În acest caz cu două variabile, putem deduce tipul de punct din determinantul hessian, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
O formă de test pentru administrare este prezentată aici:
Vedem că determinantul este #>0#, și așa este # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Așa că încheiem asta #(-3,3)#, punctul unic al primului derivat zero, este un minim local al funcției.
Ca o verificare a sanatatii pentru o intrebare de functie unidimensionala, am posta de obicei graficul ei, dar Socratic nu are o suprafata sau contur de plotare facilitatea potrivita pentru functii bidimensionale, in masura in care pot vedea. Așa că voi depăși cele două funcții #f (-3, y) # și #f (x, 3) #, care nu caracterizează întregul domeniu de funcții pentru noi, dar ne va arăta minimul dintre ele, care apare așa cum se așteaptă la # Y = 3 # și # x = -3 #, având aceeași valoare a funcției # F = -5 # in fiecare caz.
La fel de #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6,7
