Ce este egal (1-3i) / sqrt (1 + 3i)?

Răspuns:

# (1-3i) / sqrt (1 + 3i) #

# = (- 2sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)) - (2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) +1) / 2)) i #

Explicaţie:

În general, rădăcinile pătrate din # A + bi # sunteți:

+ ((sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) + a) 2)) + (b / abs 2)) i) #

Vezi:

În cazul în care # 1 + 3i #, ambele părți reale și imaginare sunt pozitive, deci este în Q1 și are o rădăcină pătrată principală bine definită:

#sqrt (1 + 3i) #

# = sqrt ((sqrt (1 ^ 2 + 3 ^ 2) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (1 ^ 2 + 3 ^ 2) -1) / 2) i #

# sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)

Asa de:

# (1-3i) / sqrt (1 + 3i) #

# = ((1-3i) sqrt (1 + 3i)) / (1 + 3i) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / ((1 + 3i) (1-3i)

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / 4 #

(Sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i =

(Sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)

(Sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)

# = - 1/2 ((4sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) -3sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)) + (4sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) + 3sqrt ((sqrt (10) +1) / 2)) i) #

# = (- 2sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)) - (2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) +1) / 2)) i #