Triunghiul A are o arie de 9 și două laturi cu lungimile 6 și 9. Triunghiul B este similar triunghiului A și are o latură a lungimii 12. Care sunt zonele maxime și minime posibile ale triunghiului B?

Răspuns:

min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} aproximativ 5.922584784 … #

Max # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} aproximativ 85.39448839 … #

Explicaţie:

Dat:

# Zona _ { triangleA} = 9 #

Lungimi laterale ale # triangleA # sunteți # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Lungimi laterale ale # triangleB # sunteți # U, V, W #

#U = 12 #

# triunghi A text {similar} triunghi B #

rezolva mai întâi pentru # Z #:

utilizați Formula lui Heron: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # Unde # S = frac {A + B + C} {2} #, sub în zona 9 și lungimile laterale 6 și 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

Frac {15 - z} { frac {Z - 3} {2}) { frac { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2-9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Lăsa # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

utilizați formula brută

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Respingeți soluțiile negative ca # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13}

Prin urmare # Z aproximativ 3.895718613 # și # 14.79267983 # respectiv

# deoarece triunghiul A text {similar} triunghiul B, Zona _ { triunghiul B} = k ^ 2 * Zona _ { triangleA} # Unde # # K este factorul de redimensionare

# k = 12 / s # în ordine crescătoare: #s în {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}

sau în formă zecimală: #s în {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Cu cât este mai mare valoarea # S #, cu atât este mai mică suprafața și cu atât este mai mică valoarea # S #, cu atât este mai mare zona,

Astfel, pentru a minimiza zona alegeți # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

și pentru a maximiza alegerea zonei # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} + 13} #

Astfel, zona minimă # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} aproximativ 5.922584784 … #

și zona maximă # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}}

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} aproximativ 85.39448839 … #