O lungime de 20 cm de șir este tăiată în două bucăți. Una dintre piese este folosită pentru a forma un perimetru al unui pătrat?

Răspuns:

# "Suprafața totală minimă = 10.175 cm²." #

# "Suprafața totală maximă = 25 cm²." #

Explicaţie:

# "Numele x lungimea piesei pentru a forma un pătrat." #

# "Apoi, aria pătratului este" (x / 4) ^ 2 "." # "

# "Perimetrul triunghiului este" 20-x "." #

# "Dacă y este una dintre laturile egale ale triunghiului, atunci avem" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

(2 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) 2 = (2)

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Suprafața totală =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)

(2 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)

# x = 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2)

# "Acesta este un parabol și minimul pentru un parabol" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "este" x = -b / (2 * a)

# "Maximul este" x-> oo ", dacă a> 0." #

# "Deci, minimul este" #

# x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2)

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (6 + 4sqrt (2) +8) / (8 + 6sqrt (2)

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Suprafața totală =" 10.175 "cm²." #

# "Maximul este fie x = 0, fie x = 20." #

# "Verificăm zona:" #

# "Când" x = 0 => "zona =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm2"

# "Când" x = 20 => "zona =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Deci, suprafața totală maximă este de 25 cm²." #

Răspuns:

Zona minimă este #10.1756# și maximum este #25#

Explicaţie:

Perimetrul unui triunghi dreptunghiular drept al laturii #A# este # A + a + sqrt2a = un # (2 + sqrt2) și zona sa este # A ^ 2/2 #,

Lasă o bucată #X# cm. din care formăm un triunghi izoscel drept. Este evident că ar fi o parte a triunghiului isoscel drept # X / (2 + sqrt2) # și zona ei ar fi

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Perimetrul unei alte porțiuni de șir care formează un pătrat este # (20-x) # și ca parte a pătratului # (20-x) / 4 # zona sa este # (20-x) ^ 2/16 # și suprafața totală # T # dintre cele două este

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Observați asta # 3-2sqrt2> 0 #, prin urmare, coeficientul de # X ^ 2 # este pozitiv și, prin urmare, vom avea un minim și putem scrie # T # la fel de

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

La fel de # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # este întotdeauna pozitivă, avem valoarea minimă de # T # cand # X = 11.8596 #.

Observați că, teoretic, nu există maxime pentru funcție, ci ca valoare pentru #X# se află între #0,20#, și atunci când # X = 0 #, noi avem # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

și atunci când # X = 20 # cand # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17,16 #

și, prin urmare, maxima este #25#

grafic {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}