Arata ca sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + .............)))) = 1 + -i?

Răspuns:

Se convertește la # 1 + i # (pe calculatorul meu grafic Ti-83)

Explicaţie:

Lăsa # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {

În primul rând, presupunând că această serie infinită converge (adică presupunând că S există și ia valoarea unui număr complex)

2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}

# S 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}

frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #

Și dacă rezolvați pentru S:

# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2-2S + 2 = 0 #

și aplicând formula obișnuită pe care o obțineți:

Frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} 1 pm i #

De obicei, funcția rădăcină pătrată ia valoarea pozitivă astfel # S = 1 + i #

Astfel, dacă converge, atunci trebuie să converge la # 1 + i #

Acum tot ce trebuie să faceți este să dovedească că se converge sau dacă sunteți leneș ca mine, atunci puteți conecta # sqrt {-2} # într-un calculator care se poate ocupa de numerele imaginare și de a folosi relația de recurență:

# f (1) = sqrt {-2} #

# f (n + 1) = sqrt {2 + 2 sqrt {f (n)} #

Am repetat acest lucru de multe ori pe Ti-83 și am constatat că se apropie, de exemplu, după ce am repetat-o undeva de 20 de ori am primit aproximativ

# 1.000694478 + 1.001394137i #

aproximație destul de bună