Cum integrați int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) utilizând fracții parțiale?

Răspuns:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx =

# 2ln (x-1) + 2nln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Explicaţie:

Configurați ecuația de rezolvat pentru variabilele A, B, C

(x-1) + B / (x + 1) + C / (x-1) (x + 1) +1) ^ 2) dx #

Să rezolvăm mai întâi pentru A, B, C

(X + 1) + C / (x + 1) 2) = A / (x-1) + B / 2 #

LCD # = (X-1) (x + 1) ^ 2 #

(X + 1) 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Simplifica

(X + 2) + (x-2) + (x-1) (x + 1) -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

(X-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2 -B + Cx-C) 1) (x + 1) ^ 2) #

Rearanjați termenii din partea dreaptă

# (4x ^ 2 + 6x2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax2 + Bx2 + 2Ax + Cx + ABC) / +1) ^ 2) #

să stabilim ecuațiile care trebuie rezolvate pentru A, B, C prin potrivirea coeficienților numerici ai termenilor stângi și cei din dreapta

# A + B = 4 "" #prima ecuație

# 2A + C = 6 "" #a doua ecuație

# A-B-C = -2 "" #a treia ecuație

Soluția simultană utilizând a doua și a treia ecuație rezultă

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #a patra ecuație

Folosind acum ecuațiile 1 și 4

# 3A-B = 4 "" #a patra ecuație

# 3 (4-B) -B = 4 "" #a patra ecuație

# 12-3B-B = 4 #

# -4b = # 4-12

# -4b = -8 #

# B = 2 #

Rezolvați pentru utilizarea A # 3A-B = 4 "" #a patra ecuație

# 3A-2 = 4 "" #a patra ecuație

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Rezolva C folosind # 2A + C = 6 "" #a doua ecuație și # A = 2 # și # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #a doua ecuație

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Acum realizăm integrarea noastră

(x + 1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x + 1) +1) ^ 2) dx #

(x + 1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x) +1) ^ (- 2)) dx #

(x + 1) + 2 (x + 1) + (2 x (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

(x + 1) + 2n (x + 1) + 2n (x + 1) + 2n (x + 1) C_o #

Dumnezeu să binecuvânteze ….. Sper că explicația este utilă.