Ce este o funcție de undă și care sunt cerințele pentru a fi bine comportată, adică pentru a reprezenta în mod real realitatea fizică?

Răspuns:

Funcția de undă este o funcție complexă de valoare a cărei amplitudine (valoare absolută) dă distribuția de probabilitate. Cu toate acestea, nu se comportă în același mod ca un val obișnuit.

Explicaţie:

În mecanica cuantică, vorbim despre starea unui sistem. Unul dintre cele mai simple exemple este o particulă care poate fi rotită în sus sau în jos, de exemplu un electron. Atunci când măsuram rotirea unui sistem, fie o măsurăm să fie în sus, fie în jos. O stare prin care suntem siguri de rezultatul măsurătorii, numim un eigenstate (un stat în sus # # Uarr și o stare în jos # # Darr).

Există, de asemenea, state în care nu suntem siguri de rezultatul măsurării înainte de ao măsura. Aceste stări numim o suprapunere și le putem scrie ca # O * uarr + b * # Darr. Aici avem # | O | ^ 2 # probabilitatea de măsurare # # Uarr, și # | B | ^ 2 # probabilitatea de măsurare # # Darr. Asta înseamnă, desigur, asta # | O | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Noi permitem # A, b # pentru a fi numere complexe, motivul pentru aceasta nu este clar imediat din acest exemplu, dar în contextul funcționării valurilor va fi mai clar. Linia de jos este că există mai multe stări decât una care dă aceleași probabilități pentru măsurarea rotirilor.

Acum am putea încerca să atribuim o funcție acestei stări de spin. Deoarece există doar două rezultate ale măsurătorii spinului, avem o funcție care are doar două intrări posibile. Dacă numim funcția # Psi # (acesta este un simbol foarte convențional folosit pentru un wavefuntion), am stabilit #psi (uarr) = a # și #psi (darr) = b #.

Acum ne întoarcem la funcția de undă. Un aspect al unei particule este, desigur, locația sa. La fel ca în cazul spinului, putem măsura valori distincte pentru locație și putem avea stări în care rezultatul măsurătorii nu este fixat în prealabil. Deoarece avem o cantitate nesemnificativă de infinit de locații unde poate fi o particulă, scriind această stare ca fiind # * Un "aici" + b * "acolo" # nu va face. Cu toate acestea, ideea funcției pe care am folosit-o mai sus face. Deci, pentru orice locație #X#, avem o valoare complexă #psi (x) #. Funcția densitate de probabilitate a particulei este acum dată de către # | Psi (x) | ^ 2 #.

În toată corectitudinea, din punct de vedere istoric, ideea funcției de undă este mai veche decât cea a spinului, dar cred că înțelegerea ideii de rotire într-un anumit grad ajută la înțelegerea funcției de undă.

Acum, în primul rând, de ce este evaluat complexul de valuri? Primul motiv poate fi găsit în ideea de interferență. Funcția de undă a unei particule poate interfera cu ea însăși. Această interferență are legătură cu adăugarea funcțiilor de undă, în cazul în care funcțiile de undă dau aceeași valoare absolută la un anumit punct, atunci probabilitatea de a măsura o particulă în jurul acelui punct este similară. Cu toate acestea, valorile funcțiilor pot fi diferite, dacă sunt aceleași, adăugându-le vor face amplitudinea sau densitatea de probabilitate 4 (#|2|^2#) ori mai mari (interferențe constructive), iar dacă diferă printr-un semn, ele se negau reciproc (interferențe distructive). Cu toate acestea, acestea pot de asemenea să difere, de exemplu, de un factor # I #, ceea ce înseamnă că densitatea de probabilitate devine #2# ori mai mari la acel moment. Stim ca toate aceste interferente pot sa apara. Deci, acest lucru indică o funcționare complexă de valori așa cum a fost descrisă mai devreme.

Al doilea motiv poate fi găsit în ecuația lui Schrödinger. Inițial sa crezut că aceste valuri funcționau la fel ca valurile clasice. Cu toate acestea, când Schrödinger a încercat să descrie comportamentul acestor valuri sau cel puțin evoluția lor în timp, el a descoperit că ecuația care guvernează valurile clasice nu era adecvată. Pentru ca acesta să funcționeze, el a trebuit să introducă un număr complex în ecuație, ducând la concluzia că funcția însăși trebuie să fie complexă, iar ordinea derivatelor care apar în ecuație diferă de ecuația clasică a valurilor.

Această diferență în ecuații răspunde, de asemenea, celei de-a doua întrebări. Deoarece evoluția funcției de undă diferă atât de mult de cea a undelor clasice, nu putem folosi aceleași metode pe care le folosim în fizica undelor clasice. Există, desigur, argumente geometrice pe care le puteți folosi, dar nu va fi suficient să descrieți toate fenomenele din fizica cuantică. În plus, chiar dacă funcția de undă oferă o mulțime de informații despre starea unei particule, ea nu vă spune nimic despre spinul său, deoarece observațiile de spin și locația nu au nimic de-a face cu ceilalți.

Poate interpret în mod greșit ceea ce spui prin natura geometrică. Puteți să dați un exemplu despre ce vreți să spuneți. Poate că aș putea să te ajut și mai departe.

val reprezintă starea unui sistem mecanic cuantic cum ar fi un atom sau o moleculă.

Poate fi reprezentată ca și ea # Psi #, independentă de timp funcție de val, sau # # Psi, dependent de timp val.

Deoarece val funcția evident reprezintă un sistem care se comportă ca un val (nu este o coincidență că se numește val funcția!), ne-am aștepta în mod normal o fără restricții val nu are limite. Luați în considerare faptul că # # Sinx și # # COSX, două funcții care sunt în mod clar valuri, au domenii de # (- oo, oo) #.

EXEMPLU: FUNCȚIA DE WAVE PENTRU ORBITALI

Cu toate acestea, să luăm orbali, de exemplu. Trebuie să existe un set de Condiții de frontieră pentru o orbitală, deoarece orbitele evident nu sunt infinit de mari.

O funcție de undă poate afișa combinație liniară a orbitalilor atomici pentru a forma orbitali moleculari:

#color (albastru) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = culoare (albastru) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py)

Unde # # C_i este coeficient de expansiune indicând contribuția fiecărui orbital atomic la orbita moleculară particulară în cauză și # Phi_i ^ "AO" # este funcția de undă experimentală / experimentală pentru fiecare orbital atomic.

Deoarece o funcție de undă trebuie să fie capabilă să reprezinte o orbită, ea trebuie să aibă o rază pozitivă (#r> 0 #) și funcția de undă trebuie să fie singur -valued, închis , continuu , ortogonale la toate funcțiile legate de val și normalizable .

Cu alte cuvinte, trebuie să treacă testul liniei verticale, să aibă o suprafață finită sub curbă, să nu aibă salturi / discontinuități / asimptote / pauze și să satisfacă următoarele două ecuații:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integrarea unei funcții de undă și a conjugatului său complex este #0# dacă funcțiile de undă sunt diferite)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integralele unei funcții de undă și conjugatul său complex sunt normalizate astfel încât să fie egale #1# dacă funcțiile valurilor sunt aceleași pe lângă semnul # # Pmi)

Un exemplu de ecuație pentru funcția de undă în coordonate sferice pentru atomul de hidrogen este:

# (0) (theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0)

# = culoare (albastru) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ (3/2 ") (Zr) / (a_0) #

Pentru a gândi, am petrecut timp pentru a normaliza acest lucru. Chiar mi-am luat timp să verific o ortogonalitate cu ceilalți doi # 2p # valurilor.: P

Doar în caz, aici este o anexă a ceea ce am legat mai sus în Scratchpads.

#' '#

Normalizarea sistemului

# # 2p_z funcția de undă orbitală atomică este:

#psi_ (2pz) #

= R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21)

(Z) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Este # # 2p_z funcția de undă într-adevăr normalizat? SĂ AFLĂM!

(r) R (n) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (verde) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0) (suprapusa (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)

Acum, examinând doar partea radială, care este partea nebună … să înceapă integrarea cvadruplu prin componente!

EVALUAREA COMPONENTULUI RADIAL AL FUNCȚIEI DE CĂLȚI

Partea 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^

Lăsa:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

(a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4-int- (a_0) / Ze ^

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4-4-eint ^ - (Zr) / (a_0)

Partea 2

Lăsa:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4-4-4 - (a_0) / Ze ^ (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 + (4a0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Partea 3

Lăsa:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 + (4a0) / Z e ^ (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r2-2inint- (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a0)) rdr

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 + (4a0) / Z e ^ / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2-2int e ^ - (Zr) / (a_0)) rdr

Partea 4

Lăsa:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 + (4a0) / Z e ^ / Z (e ^) - (Zr) / (a_0)) r ^ 2-2- (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) dr}} #

(a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 + (4a0) / Z e ^ / Z (e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ - (Zr) / (a_0))) dr}} #

EXPANSIUNE / SIMPLIFICARE

(a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4-4-4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (A_0) / Z (e ^ (- (Zr) / (a_0)) r2 + (2a0) / Z {e ^ (Zr) / (a_0))} #

= (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 - ((a0) / Z) (a_0) / Z) ^ e ^ (- (Zr) / (a_0)) r2- (2a0) / Z {e ^ ^ (- (Zr) / (a_0))} #

= (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 - ((a0) / Z) (a_0) / Z) ^ 3e ^ - (Zr) / (a_0)) r ^ 2-24 ((a0) / Z)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

= (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) (a_0) / Z) ^ 3e ^ - (Zr) / (a_0)) 12r ^ - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ Z) ^ 5e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

FORMULAR DE EVALUARE-READY

(a_0)) (a_0) / Zr ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2r ^ 3 + 12 ((a_0) (A_0) / Z) ^ r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | (0) ^ (oo)

Prima jumătate se anulează a fi #0#:

# = anula ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) (A_0) / Z) ^ oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) (a_0)) (a_0) / Z (0) 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5

A doua jumătate se simplifică a fi # * 1 (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# (1) an ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + anula (4 ((a_0) (0) + anula (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Acum, să reexaminăm funcția undelor ca întreg …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3)

# {1} (anulați (2) anulați (pi)) anulați ((Z / a_0) ^ 5) stackrel (?) (=) 1 #

#color (albastru) (1 = 1) #

DA! ULTRATEA UNEI EQUAL! Vreau să spun…

Funcția de undă este într-adevăr normalizată!: D

Demonstrarea ortogonalității reciproce pentru funcțiile de undă 2p

Să alegem următoarele funcții de undă:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ 3/2 "(Zr) / (a_0) e ^

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ 3/2 "(Zr) / (a_0) e ^

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ 3/2 "(Zr) / (a_0) e ^

Pentru a arăta că sunt ortogonale, trebuie să arătăm cel puțin una dintre ele:

#int _ ("tot spațiul") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Și din inducție putem implica restul deoarece componentele radiale sunt identice. Cu alte cuvinte:

(r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel

# (verde) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ int_ (0) ^ (oo) e ^ (2) cristalizat (a) (=) 0)

Porțiunea radială se dovedește a fi # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Deci, să evaluăm porțiunile unghiulare.

# # Teta porţiune:

#color (verde) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Lăsa:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3 | (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0)

# = 1/3 * 0 - 0 = culoare (verde) (0) #

Și acum # # Phi porţiune:

#color (verde) (int_ (0) ^ (2pi) cosfid)

# = | sinphi | (0) ^ (2pi) #

# = păcat (2pi) - păcat (0) #

Lăsa:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = culoare (verde) (0) #

Prin urmare, avem în ansamblu:

(0) () / (32) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (2) (2pi) cosfidii)

# = anula (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z)

# = culoare (albastru) (0) #

De cand

#int _ ("tot spațiul") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# # 2p_z și # # 2p_x atomii orbali sunt ortogonali.

Într-adevăr, diferența principală cu utilizarea # # 2p_y ecuația este că în schimb obțineți:

(0) ^ (0) ^ (oo) "Aceleași lucruri" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ 2pi sinphicosphidphi stackrel 0) #

Așadar:

#color (albastru) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = culoare (albastru)

De la înmulțire #0# de către celelalte integrale, astfel intregul integral dispare și:

#int _ ("tot spațiul") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

astfel, # # 2p_x și # # 2p_y atomii orbali sunt ortogonali.

În cele din urmă, pentru # # 2p_y vs. # # 2p_z:

# (verte) ("Constante" int_ (0) ^ (oo) "Aceleași lucruri" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ 2pi sinphidphi stackrel 0) #

Știm # # Teta integral înainte:

#color (albastru) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3 | (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0)

# = 1/3 * 0 - 0 = culoare (albastru) (0) #

Și astfel întregul integral dispar din nou, și într-adevăr # # 2p_y și # # 2p_z orbitele sunt ortogonale, de asemenea!