Funcția 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 este maxima, minimă sau punct de inflexiune?

Răspuns:

Nu minute sau maxime
Punct de Influență la # x = -2 / 3 #.

grafic {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Explicaţie:

Mins și Maxes

Pentru o dată #X#-value (să o numim # C #) pentru a fi o valoare maximă sau mină pentru o anumită funcție, aceasta trebuie să satisfacă următoarele:

# f '(c) = 0 # sau nedefinit.

Aceste valori ale # C # sunt numite și dvs. puncte critice.

Notă: Nu toate punctele critice sunt max / min, dar toate valorile max / min sunt puncte critice

Deci, hai să le găsim pentru funcția ta:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Acest lucru nu este factor, deci să încercăm formula quadratică:

# x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… și ne putem opri chiar aici. După cum vedeți, ajungem să avem un număr negativ sub rădăcina pătrată. Prin urmare, există nu există puncte critice reale pentru această funcție.

Puncte de influență

Acum, hai să găsim puncte de inflexiune. Acestea sunt puncte în care graficul are o schimbare în concavitate (sau curbură). Pentru un punct (sunați-l # C #) pentru a fi un punct de inflexiune, trebuie să satisfacă următoarele:

#f "(c) = 0 #.

Notă: Nu toate aceste puncte sunt puncte de inflexiune, dar toate punctele de inflexiune trebuie să satisfacă acest lucru.

Deci, să găsim aceste:

#f "(x) = 0 #

= d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Acum, trebuie să verificăm dacă acesta este un punct de inflexiune. Așa că va trebui să verificăm asta #f '' (x) # de fapt, schimba semnul # x = -2 / 3 #.

Deci, haideți să testați valorile la dreapta și la stânga # x = -2 / 3 #:

Dreapta:

# x = 0 #

#f "(0) = 12 #

Stânga:

# x = -1 #

#f "(- 1) = -6 #

Nu ne pasă cât de mult sunt valorile reale, dar după cum putem vedea clar, există un număr pozitiv la dreapta # x = -2 / 3 #, și un număr negativ la stânga lui # x = -2 / 3 #. Prin urmare, este într-adevăr un punct de inflexiune.

A rezuma, #f (x) # nu are puncte critice (sau minute sau maxime), dar are un punct de inflexiune la # x = -2 / 3 #.

Să aruncăm o privire la graficul lui #f (x) # și vedeți ce înseamnă aceste rezultate:

grafic {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Acest grafic crește peste tot, deci nu are niciun loc unde derivatul = 0. Totuși, el merge de la curb în jos (concav jos) până la curb în sus (concav sus) la # x = -2 / 3 #.

Sper că a ajutat:)