Ce este int (cos (x)) ^ 4 dx?

Răspuns:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x)

Explicaţie:

În timp ce inițial pare a fi un integrator cu adevărat deranjant, putem exploata de fapt identitățile trigonale pentru a rupe această integritate într-o serie de integrale simple cu care suntem mai familiarizați.

Identitatea pe care o vom folosi este:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Aceasta ne permite să manipulăm ecuația noastră ca atare:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 *

= 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Acum putem aplica regulile noastre din nou pentru a elimina cos ^ 2 (2x) în interiorul parantezei:

# 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# 1 / 4int (1 + 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2)

# = 1 / 8int (2 + 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3 + 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Acum avem de fapt o problemă destul de simplă de integrare, putem distribui integral în paranteză astfel încât:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Fiecare dintre aceste integrate trig este manipulată cu regula simplă care #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Prin urmare, # = 1/8 3x + 2 păcat (2x) + 1/4 păcat (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + păcat (4x) #