Răspuns:
# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #
cu # A = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #
# P_n ^ (d + 2) # este o serie poligonală de rang, # r = d + 2 #
exemplu dat o secvență aritmetică săriți numărarea prin # D = 3 #
vei avea o #color (roșu) (pentagonal) # secvenţă:
# P_n ^ culoare (roșu) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # oferindu- # P_n ^ 5 = {1, culoare (roșu) 5, 12, 22,35,51, cdots} #
Explicaţie:
O secvență poligonală este construită luând # # Nth suma unei secvențe aritmetice. În calcul, aceasta ar fi o integrare.
Deci, ipoteza cheie aici este:
Deoarece secvența aritmetică este liniară (gândiți ecuația liniară), atunci integrarea secvenței liniare va avea ca rezultat o secvență polinomică de gradul 2.
Acum, pentru a arăta acest lucru
Începeți cu o secvență naturală (treceți cu numărătoarea începând cu 1)
#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #
găsiți suma n #S_n = suma_i ^ (i = n) a_n #
# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdoturi #
#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #
#un# este secvența aritmetică cu
# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #
(1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1) / 2n = n (n + 1)
#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdoturi, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #
Deci, cu d = 1, secvența are forma # P_n ^ 3 = an ^ 2 + bn + c #
cu # a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #
Acum generalizați pentru un contor arbitrar de sărituri #color (roșu) d #, #color (roșu) d în culoarea (albastru) ZZ # și # a_1 = 1 #:
# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + culoare (roșu) d (n-1)
# P_n ^ (d + 2) = (2 + culoare (roșu) d (n-1)) / 2 n #
# P_n ^ (d + 2) = culoare (roșu) d / 2n ^ 2 + (2 culori (roșu) d /
Care este forma generală # P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + bn + c #
cu # A = culoare (roșu) d / 2; b = (2 culori (roșu) d) / 2; c = 0 #
