Cum scrieți (4sqrt (3) -4i) ^ 22 sub forma unui + bi?

Răspuns:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #

#color (alb) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #

Explicaţie:

Dat:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 #

Rețineți că:

#abs (4sqrt (3) -4i) = sqrt ((4sqrt (3)) ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt (48 +

Asa de # 4sqrt (3) -4i # pot fi exprimate în formă # 8 (cos theta + i sin theta) # pentru unele potrivite # # Teta.

# 4sqrt (3) -4i = 8 (sqrt (3) / 2-1 / 2i) = 8 (cos (-pi /

Asa de:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = (8 (cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6)

#color (alb) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos- (22pi)

#color (alb) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos (pi /

#color (alb) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (1/2 + sqrt (3)

#color (alb) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3)

#color (alb) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #

Răspuns:

Iată o modalitate care nu utilizează teorema binomială.

Explicaţie:

Observați asta # (4sqrt3-4i) ^ 22 = (4 (sqrt3-i)) ^ 22 = 4 ^ 22 (sqrt3-i) ^ 22 #.

Acest lucru ne va permite să menținem într-o anumită măsură coeficienții.

Vom găsi extinderea # (Sqrt3-i) ^ 22 # și se va multiplica prin #4^22 = 2^44# la sfarsit.

# (sqrt3-i) ^ 2 = (sqrt3-i) (sqrt3-i) = 3 -1 -2isqrt3 = 2-2isqrt3 #

(sqrt3-i) ^ 3 = (2-2isqrt3) (sqrt3-i) = 2sqrt3 - 2i-6i-2sqrt3 = -8i #

# (sqrt3-i) ^ 21 = ((sqrt3-i) ^ 3) ^ 7 = (-8i) ^ 7 = 2 ^ 21i #

# = (-8 ^ 7) (i ^ 7) = (-2 ^ 21) (-i) = 2 ^ 21i #

# (sqrt3-i) ^ 22 = (2 ^ 21i) (sqrt3 - i) = 2 ^ 21 (1 + isqrt3)

Înmulțit cu #4^22 = 2^44#:

Răspunsul final este

# = 2 ^ 65 (1+ isqrt3) #