Cum găsiți volumul regiunii închise de curbe y = x ^ 2 - 1 și y = 0 rotit în jurul liniei x = 5?

Răspuns:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + 1/3), #

Explicaţie:

Pentru a calcula acest volum suntem într-un anumit sens să o tăiem în felii (infinit de subțiri).

Vă imaginăm regiunea, pentru a ne ajuta în acest sens, am închis graficul în care regiunea este partea de sub curbă. Am notat asta # Y = x ^ 2-1 # traversează linia # X = 5 # Unde # Y = 24 # și că trece linia # Y = 0 # Unde # X = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Atunci când tăiați această regiune în felii orizontale cu înălțime # Dy # (o înălțime foarte mică). Lungimea acestor felii depinde foarte mult de coordonatele y. pentru a calcula această lungime, trebuie să cunoaștem distanța dintr-un punct # (Y, x) # pe linia # Y = x ^ 2-1 # la punctul (5, y). Bineînțeles că asta este # 5 x #, dar vrem să știm de ce depinde # Y #. De cand # Y = x ^ 2-1 #, noi stim # X ^ 2 = y + 1 #, din moment ce avem #X> 0 # pentru regiunea în care ne interesează, # X = sqrt (y + 1) #, de aceea această distanță depinde de # Y #, pe care o vom desemna ca #R (y) # este dat de #R (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Acum rotim această regiune în jur # X = 5 #, aceasta înseamnă că fiecare felie devine un cilindru cu înălțime # Dy # și raza #R (y) #, prin urmare un volum #pir (y) ^ 2DY #. Tot ce trebuie să facem acum este să adăugăm aceste volume infinit de mici folosind integrarea. Am notat asta # Y # pleacă de la #0# la #24#.

(Y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1) (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 alineatele (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.