Fie f: Rise definit de la R la R. găsiți soluția f (x) = f ^ -1 (x)?

Răspuns:

# f (x) = x #

Explicaţie:

Căutăm o funcție #f: RR rarr RR # astfel încât soluția #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Căutăm o funcție care este inversă proprie. O astfel de funcție evidentă este soluția trivială:

# f (x) = x #

Cu toate acestea, o analiză mai aprofundată a problemei este de complexitate semnificativă, așa cum a fost studiată de Ng Wee Leng și Ho Foo Him, publicată în Jurnalul Asociației Profesorilor de Matematică.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Răspuns:

Verificați mai jos.

Explicaţie:

Punctele în comun între # # C_f și #C_ (f ^ (- 1)) # dacă există, ele nu sunt întotdeauna în bisector # Y = x #. Iată un exemplu al unei astfel de funcții: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (alb) (a) #, #X##în## 0, + oo) #

grafic {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

Ele sunt totuși numai în bisector și numai dacă # F # este # # crescând.

Dacă # F # este strict în creștere atunci #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Dacă # F # nu se mărește strict punctele comune găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) #<=>…#

Răspuns:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> X = 1 #

Explicaţie:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (alb) (aa) #, #X##în## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (alb) (aa) #, # # AA#X##în## RR #

asa de # F # este # # în # RR #. Ca o funcție strict monotonă, este, de asemenea,#1-1#"și ca funcție unu la unu are o inversă.

Trebuie să rezolvăm ecuația #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (F) f (x) = x # #<=>#

# X ^ 3 + x-1 = x # #<=># # X ^ 3-1 = 0 # #<=>#

(X ^ 2 + x + 1) = 0 # # (x-1) # <=> ^ (X ^ 2 + x + 1> 0) #

# X = 1 #