Utilizați Teorema Zerului Rational pentru a găsi posibilele zerouri ale următoarei funcții polinomiale: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Răspuns:

Posibilul raţional zerourile sunt:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Explicaţie:

Dat:

# f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Prin teorema rațională a zerourilor, orice zer rațional de #f (x) # sunt exprimate în formă # P / q # pentru numere întregi #p, q # cu # P # un divizor al termenului constant #-35# și # Q # un divizor al coeficientului #33# a termenului de conducere.

Divizorii din #-35# sunteți:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Divizorii din #33# sunteți:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Deci, posibilele zerouri raționale sunt:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

sau în ordinea crescătoare a mărimii:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Rețineți că acestea sunt doar posibilitățile raționale. Teorema rațională de zerouri nu ne spune despre posibilele zerouri iraționale sau complexe.

Folosind regula lui Signs a lui Descartes, putem constata că acest cubic nu are zero zerouri negative și #1# sau #3# pozitive adevărate zerouri.

Deci, singurele zerouri raționale posibile sunt:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Încercând fiecare pe rând, găsim:

#f (1/11) = 33 (culoare (albastru) (1/11)) ^ 3-245 (culoare (albastru) (1/11)) ^ 2 + 407 -35 #

#color (alb) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (alb) (f (1/11)) = 0 #

Asa de # X = 1/11 # este zero și # 11x-1 # un factor:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Pentru a determina restul de cadre putem folosi o metoda AC:

Găsiți o pereche de factori de #AC = 3 * 35 = 105 # cu suma # B = 22 #

Perechea #15, 7# lucrări.

Utilizați această pereche pentru a împărți termenul mediu, apoi factorul prin grupare:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (alb) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (alb) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Celelalte două zerouri sunt:

# x = 7/3 "" # și # "" x = 5 #