Întrebarea nr. 39008

Răspuns:

Dimensiunile casetei sunt # 11,1 cm xx52cmxx6cm #, dar această casetă există doar în capul meu. Nu există o astfel de casetă în realitate.

Explicaţie:

Ajută întotdeauna la trasarea unei diagrame.

Inițial, cutia avea dimensiuni # L # (lungime, care nu este cunoscută) și # W # (lățime, care, de asemenea, nu este cunoscută). Cu toate acestea, atunci când vom tăia pătrate de lungime #6#, obținem acest lucru:

Dacă ar fi să îndoim zonele roșii pentru a forma laturile cutiei, cutia ar avea înălțime #6#. Lățimea cutiei ar fi # W-12 + 6 + 6 = w #, iar lungimea ar fi # l-12 #. Noi stim # V = lwh #, asa de:

# V = (l-12) (w) (6) #

Dar problema spune că volumul este #3456#, asa de:

# 3456 = 6w (l-12) #

Acum avem acest sistem:

# 1200 = Lw "ecuația 1" #

# 3456 = 6w (l-12) "ecuația 2" #

Rezolvarea pentru # W # în ecuația 1, avem:

# W = 1200 / l #

Conectați-vă pentru asta # W # în ecuația 2, avem:

# 3456 = 6w (l-12) #

# 3456 = 6 (1200 / l) (l-12) #

# 3456 = (7200 / l) (l-12) #

# 3456 = 7,200-86400 / l #

# 86400 / l = 3744 #

# 86400 = 3744l-> l ~~ 23.1 # cm

Noi stim aia # W = 1200 / l #, și putem folosi acest lucru pentru a rezolva pentru lățimea:

# W = 1200 / 23,1 ~~ 52 # cm

Rețineți că acestea sunt dimensiunile de pe foaia de metal originală. Când îl scoatem #6# cm pătrate pentru a forma caseta, lungimea se schimbă cu #12#. Prin urmare, lungimea casetei este #23.1-12=11.1# cm.

Când verificați dimensiunile # Lxxwxxh-> 11.1cmxx52cmxx6cm #, veți vedea că volumul este oprit puțin, datorită rotunjirii.

# "Volumul cutiei" = 3456cm ^ 3 #

# "Înălțimea cutiei" = 6cm #

# "Zona de bază a casetei" #

# = "Volumul său" / "înălțime" = 3456/6 = 576cm ^ 2 #

Acum, lăsați lungimea cutiei A cm și lățimea sa fi b cm.

Atunci # Ab = 576 ….. (1) #

Pentru a menține volumul și înălțimea casetei la valoarea dată zona de bază # # Axxb trebuie să fie fixată la # 576cm ^ 2 #

# "Acum zona din cele 4 laturi" #

# = 2 (a + b) 6 = 12 (a + b) cm ^ 2 #

Pentru a construi caseta de 4 patrate de dimensiune # (6xx6) cm ^ 2 # au fost tăiate.

Asa de

# ab + 12 (a + b) + 4 * 6 * 6 = "zona a foii" … (2)

Acum, să vedem ce se întâmplă dacă încercăm să aflăm A și b utilizând ecuațiile (1) și (2).

Combinând (1) și (2) ajungem

# 576 + 12 (a + b) + 144 = "suprafața foii" = 1200 #

# => 12 (a + b) = 1200-576-144 = 480 #

# => A + b = 40 #

Acum încearcă să afli # A-b #

# (A-b) ^ 2 = (a + b) ^ 2-4ab = 40 ^ 2-4 * 576 #

# => (A-b) ^ 2 = 1600-2304 <0 #

Aceasta arată că nu este posibilă o soluție reală cu suprafața foii 1200cm ^ 2.

Dar este posibilă o soluție reală cu o valoare minimă a perimetrului bazei cutiei,# 2 (a + b) # adică# A + b #

# "Acum" (a + b) = (sqrta-sqrtb) ^ 2 + 2sqrt (ab) #

pentru valori reale de A și b, # (A + b) # va fi minim iff # (Sqrta-sqrtb) = 0 => a = b # #color (roșu) ("ca" ab = "constantă") #

Asta da # Axxb = 576 => a ^ 2 = 576 #

# => A = 24cm #

și # B = 24cm #

Apoi, prin relație (2)

# "Zona foaie" = ab + 12 (a + b) + 144 #

# = + 12 * 576 (24 + 24) + 144 = 1296cm ^ 2 #

Acum, cu această zonă de foaie de # 1296cm ^ 2 # problema poate fi rezolvată.

Și dimensiunea casetei atunci va fi

# # 24cmxx24cmxx6cm