Care sunt câteva exemple de serii convergente?

Răspuns:

Iată trei exemple semnificative …

Explicaţie:

Serii geometrice

Dacă #abs (r) <1 # apoi suma seriilor geometrice #a_n = r ^ n a_0 # este convergentă:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Functie exponentiala

Definiția seriei # E ^ x # este convergent pentru orice valoare de #X#:

# e ^ x = suma_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Pentru a dovedi acest lucru, pentru orice dat #X#, lăsa # N # fi un întreg mai mare decât #abs (x) #. Atunci #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # converge din moment ce este o sumă finită și #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # converge, deoarece valoarea absolută a raportului dintre termenii succesivi este mai mică decât #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Problema Basel

Problema Baselului, ridicată în 1644 și rezolvată de Euler în 1734, a cerut valoarea sumei reciprocelor de pătrate cu numere întregi pozitive:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #