Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Nu am găsit puncte de șa, dar a existat un minim:

# f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Pentru a găsi extrema, luați derivatul parțial cu privire la #X# și # Y # pentru a vedea dacă ambii derivați parțiali pot fi simultan egali #0#.

# (delf) / (delx)) y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Dacă simultan trebuie să fie egale #0#, ele formează a sistem de ecuații:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

# x + 2y + 1 = 0 #

Acest liniar sistem de ecuații, atunci când se scade pentru a anula # Y #, oferă:

# 3x - 1 = 0 => culoare (verde) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => culoare (verde) (y = -2/3) #

Deoarece ecuațiile au fost lineare, a existat doar un punct critic și, astfel, doar un extremum. Al doilea derivat ne va spune dacă a fost maxim sau minim.

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2)) y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)

Aceste două partiale sunt în acord, astfel încât graficul este concav sus, de-a lungul #X# și # Y # axe.

Valoarea a #f (x, y) # la punctul critic este (prin conectarea înapoi la ecuația inițială):

#color (verde) (f (1/3, -2/3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (-2/3) + (-2/3) ^ 2 + 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = culoare (verde) (- 1/3) #

Astfel, avem a minim de #color (albastru) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Acum, pentru încrucișate Derivați pentru a verifica orice puncte de șa care ar putea fi de-a lungul unei direcții diagonale:

# (del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)

Din moment ce ambele sunt în acord, de asemenea, în loc de a fi semne opuse, există nici un punct de șa.

Putem vedea cum arată acest grafic doar pentru a verifica: