Care sunt extremele lui f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 pe [-oo, oo]?

Răspuns:

#f (x) # are un minim la # X = 2 #

Explicaţie:

Înainte de a continua, rețineți că aceasta este o parabolă orientată în sus, ceea ce înseamnă că putem cunoaște fără alte calculi că nu va avea maxime și un singur minim la vârf. Completarea pătratului ne-ar arăta asta #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, dând vârful, și deci singurul minim, la # x = 2 #. Să vedem cum se va face acest lucru cu ajutorul calculului.

Orice extrema va apărea fie la un punct critic, fie la un punct final al intervalului dat. Ca intervalul nostru dat de # (- oo, oo) # este deschis, putem ignora posibilitatea unor puncte finale și astfel vom identifica mai întâi punctele critice ale funcției, adică momentul în care derivatul funcției este #0# sau nu există.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Stabiliți această valoare egală cu #0#, găsim un punct critic la # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Acum, putem testa dacă este vorba de un extremum (și de ce tip) prin verificarea unor valori ale lui # F # în jurul acelui punct sau prin utilizarea celui de-al doilea test derivat. Să folosim ultima.

# (d ^ 2) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

La fel de #f "(2) = 6> 0 #, al doilea test derivat ne spune asta #f (x) # are un minim local la # X = 2 #

Astfel, folosind #f '(x) # și #f '' (x) #, găsim asta #f (x) # are un minim la # X = 2 #, potrivind rezultatul pe care l-am găsit folosind algebra.