Cum rezolv această ecuație?

Răspuns:

# "Vezi explicația" #

Explicaţie:

# "Aplicați mai întâi teorema rădăcinilor raționale pentru a găsi rădăcini raționale." #

# "Am găsit" x = 1 "ca rădăcină rațională." #

# "Deci," (x-1) "este un factor. Împărțim acest factor departe:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Avem o ecuație cubică rămasă care nu are rădăcini raționale." #

# "Putem rezolva aceasta cu înlocuirea metodei Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Înlocuitorul" x = y + 2/9 ".

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Înlocuitorul" y = (sqrt (22) / 9) z ".

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Înlocuitorul" z = t + 1 / t ".

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Înlocuind" u = t ^ 3 ", randamentul ecuației patrate:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "O rădăcină a acestei ecuații patrate este u = 5.73717252." #

# "Înlocuirea variabilelor înapoi, randamente:" #

# t = rădăcină (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2,34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Celelalte rădăcini sunt complexe:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Ele pot fi găsite prin divizarea" (x-1.44631151)) #

Răspuns:

Valoarea reală rațională este # X = 1 #.

Apoi, există un zero real irațional:

# x_1 = 1/9 (2 + rădăcină (3) (305 + 27sqrt (113)) + rădăcină (3) (305-27sqrt (113)

și zerouri complexe non-reale complexe.

Explicaţie:

Dat:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Rețineți că suma coeficienților este #0#.

Acesta este: #3-5+2 = 0#

De aici putem deduce acest lucru # X = 1 # este zero și # (X-1) # un factor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (alb) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Cubul rămas este ceva mai complicat …

Dat:

# f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformarea Tschirnhaus

Pentru a face sarcina de a rezolva mai simplu cubul, facem mai simplu cubul folosind o substituție liniară cunoscută sub numele de transformare Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (-9x 2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

Unde # T = (-9x 2) #

Metoda Cardano

Vrem să rezolvăm:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

Lăsa # T = u + v #.

Atunci:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Adăugați constrângerea # V = 22 / u # pentru a elimina # (U + v) # termen și obține:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multiplicați prin # U ^ 3 # și rearanjați ușor pentru a obține:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10,648 = 0 #

Utilizați formula patratică pentru a găsi:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Deoarece acesta este Real și derivarea este simetrică în # U # și # V #, putem folosi una din aceste rădăcini # U ^ 3 # și cealaltă pentru # V ^ 3 # pentru a găsi rădăcina reală:

# T_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

și rădăcinile complexe asociate:

# t_2 = Omega rădăcină (3) (305 + 27sqrt (113)) + Omega ^ 2 rădăcină (3) (305-27sqrt (113)

# t_3 = Omega ^ 2 rădăcină (3) (305 + 27sqrt (113)) + rădăcină de omega (3) (305-27sqrt (113)

Unde # Omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # este rădăcina primitivă complexă cub de #1#.

Acum # X = 1/9 alineatul (2 + t) #. Astfel, rădăcinile cubului nostru original sunt:

# x_1 = 1/9 (2 + rădăcină (3) (305 + 27sqrt (113)) + rădăcină (3) (305-27sqrt (113)

(3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 rădăcină (3) (305-27sqrt (113)))

(3) (305 + 27sqrt (113)) + omega rădăcină (3) (305-27sqrt (113)))