K este un număr real care satisface următoarea proprietate: "pentru fiecare 3 numere pozitive, a, b, c; dacă a + b + c K atunci abc K" Puteți găsi cea mai mare valoare a K?

Răspuns:

# K = 3sqrt (3) #

Explicaţie:

Dacă punem:

# a = b = c = K / 3 #

Atunci:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Asa de:

# K ^ 2 <= 27 #

Asa de:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Daca avem # A + b + c <= 3sqrt (3) # atunci putem spune acest caz # A = b = c = sqrt (3) # oferă valoarea maximă posibilă # Abc #:

De exemplu, dacă rezolvăm #c în (0, 3sqrt (3)) # si lasa #d = 3sqrt (3) -c #, atunci:

# a + b = d #

Asa de:

#abc = a (d-a) c #

#color (alb) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (alb) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2)

#color (alb) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

care are valoarea maximă atunci când # A = d / 2 # și # B = d / 2 #, atunci când # A = b #.

În mod similar, dacă rezolvăm # B #, atunci vom găsi maximul când este # A = c #.

Prin urmare, valoarea maximă a # Abc # este atins atunci când # A = b = c #.

Asa de # K = 3sqrt (3) # este valoarea maximă posibilă # A + b + c # astfel încât #abc <= K #