Răspuns:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) pentru #b în RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | pentru #b = | b | e ^ (itheta) în CC #
Explicaţie:
Prin teorema fundamentală a algebrei, putem factoriza expresia dată ca
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
unde fiecare # # Alpha_k este o rădăcină a # X ^ 8 + b ^ 8 #.
Rezolvarea pentru # # Alpha_k, primim
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (presupunând #b în RR #)
# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k în ZZ #
La fel de #k în {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # conturile tuturor valorilor unice ale acelei forme, obținem factorizarea noastră ca și pentru #b în RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1)
Pentru o mai generală #b în CC #, atunci presupunem #b = | b | e ^ (itheta) #, putem trece prin calcule similare pentru a găsi
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1)
sens
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b |
Ne pare rău, mă uit la câteva detalii minore, răspunsul furnizat de sente este corect.
Presupunînd #b ne 0 # și # a, b în RR # noi avem
# (a / b) ^ = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # atunci
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # atunci
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # sunt # K = 0,1, cdots, 7 # rădăcini sau factori.
Defini
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
și apoi
= f (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2
= f (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2
asa de
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # cu coeficienți reali.
