Cum găsiți valorile exacte ale cos 2pi / 5?

Răspuns:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

Explicaţie:

Aici soluția cea mai elegantă găsită în:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = cos (2pi-4pi / 5) = cos (6pi / 5) #

Astfel, dacă # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

Înlocuirea cos (2x) și cos (3x) cu formulele lor generale:

#color (roșu) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 și cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, primim:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x 3cosx #

Înlocuirea # # COSX de # Y #:

# 4y ^ 3-2y ^ 2-3y-1 = 0 #

# (Y-1) (4y ^ 2 +-2y 1) = 0 #

Noi stim aia #Y! = 1 #, deci trebuie să rezolvăm partea patratică:

#Y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#Y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

de cand #Y> 0 #, # Y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #