Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) în orice moment ulterior t = t_1, phi_n sunt funcții eigen de energie ale potențialului infinit de bine. Scrieți răspunsul în termeni de E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) în orice moment ulterior t = t_1, phi_n sunt funcții eigen de energie ale potențialului infinit de bine. Scrieți răspunsul în termeni de E_0?
Anonim

Păi, înțeleg # 14 / 5E_1 #… și având în vedere sistemul ales de dvs., nu poate fi re-exprimat în termeni de # # E_0.

Există atât de multe reguli de mecanică cuantică în această întrebare …

  • # # Phi_0, din moment ce folosim soluții de potențial infinit, se elimină automat … #n = 0 #, asa de #sin (0) = 0 #.

Și pentru context, am lăsat-o #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #

  • Este imposibil pentru a scrie răspunsul în termeni de # # E_0 deoarece #n = 0 # NU există pentru binele potențial infinit. Doar dacă nu vrei particula dispărea , Trebuie să o scriu în termeni de # # E_n, #n = 1, 2, 3,… #

  • Energia este o constantă a mișcării, adică # (d << E >>) / (dt) = 0 #

Asa ca acum…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt

Valoarea așteptărilor este o constantă a mișcării, deci nu ne pasă ce oră # # T_1 noi alegem. În caz contrar, acesta nu este un sistem conservator …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # pentru unii #n = 1, 2, 3,… #

De fapt, știm deja ce ar trebui să fie, din moment ce Hamiltonianul pentru binele unidimensional potențial infinit este timpul - INDEPENDENT …

#hatH =-^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

si # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # mergeți la 1 în integral:

#color (albastru) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ * * (x, t) hatHPhi_1 (x, t) (X, t) dx) / (<< Psi | Psi >>)

unde am lăsat-o #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Din nou, toți factorii de fază se anulează și observăm că termenii off-diagonali ajung la zero din cauza ortogonalității # # Phi_n.

Numitorul este norma # # Psi, care este

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Prin urmare, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Aceasta oferă:

= (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) (D / 2) / (dx2) sin ((pix) / L) anula (e ^ int (0) ^ (L) sin (2pix) / L) anula (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) ((2pix) / L) anula (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Aplicați instrumentele derivate:

= (1) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) pixel / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Constantele plutesc:

= (2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L)) dx + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) #

Și acest integral este cunoscut din motive fizice pentru a fi la jumătatea distanței dintre #0# și # L #, independent de # N #:

(2 / L) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2)

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = culoare (albastru) (14/5 E_1) #

Răspuns:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Explicaţie:

Fiecare stare staționară corespunzătoare valorii proprii a energiei # # E_n preia un factor de fază #e ^ {- iE_n t} # la evoluția timpului. Starea dată este nu o stare staționară - deoarece este superpoziția de eigenstați ai energiei care aparțin diferitelor valori proprii. Ca rezultat, va evolua în timp într-o manieră netrivială. Cu toate acestea, ecuația Schroedinger care guvernează evoluția timpului stărilor este liniară - astfel încât fiecare componentă energetică eigenă evoluează independent - preluând propriul factor de fază.

Deci, funcția de undă de pornire

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2

evoluează în timp # T # la

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Astfel, valoarea așteptărilor energetice în timp # T # este dat de

(X, t) h (H, psi) A (x, t) dx #

(1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) (1) phi_0 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

(1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/1) 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) ori (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

unde am folosit faptul că #phi_i (x) # sunt energii eigenfunctions, astfel încât #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Acest lucru ne oferă nouă termeni. Cu toate acestea, calculul final este simplificat foarte mult prin faptul că funcțiile eigen sunt energetic orto-normalizate, adică ei ascultă

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Asta înseamnă că dintre cele nouă integrale, doar trei supraviețuiesc și ajungem

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Folosind rezultatul standard că #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, noi avem # E_1 = 4E_0 # și # E_2 = 9E_0 # pentru un fantă potențial infinit (poate fi mai obișnuit cu o expresie care spune #E_n propto n ^ 2 # pentru un bine infinit - dar, în aceste state, solul este etichetat # # E_1 - aici îl etichetăm # # E_0 - prin urmare, schimbarea). Prin urmare

# <E> = (1/6 ori 1 + 1/3 ori 4 + 1/2 ori 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Notă:

  1. În timp ce funcțiile individuale ale energiei individuale evoluează în timp prin preluarea unui factor de fază, funcția globală a undelor nu diferă de cel inițial doar printr-un factor de fază - de aceea nu mai este o stare staționară.
  2. Integalele implicate au fost asemănătoare

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i_E_j) infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    și acestea par a fi dependente de timp. Cu toate acestea, singurele integrale care supraviețuiesc sunt cele pentru # I = j # - și acestea sunt tocmai cele pentru care se anulează dependența de timp.

  3. Ultimele rezultate se potrivesc cu faptul că #hat {H} # este conservată - chiar dacă statul nu este o stare staționară - valoarea așteptărilor energetice este independentă de timp.
  4. Funcția inițială de undă a fost deja normalizată de atunci (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # iar această normalizare este păstrată în evoluția timpului.
  5. Am fi putut face o mulțime de lucru dacă am fi utilizat un rezultat standard cuantic mecanic - dacă o funcție de undă este extinsă sub forma #psi = sum_n c_n phi_n # unde # # Phi_n sunt funcțiile proprii ale unui operator hermitian #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, atunci # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, cu condiția ca, bineînțeles, statele să fie normalizate corespunzător.