Păi, înțeleg
Există atât de multe reguli de mecanică cuantică în această întrebare …
# # Phi_0 , din moment ce folosim soluții de potențial infinit, se elimină automat …#n = 0 # , asa de#sin (0) = 0 # .
Și pentru context, am lăsat-o
#phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) # …
-
Este imposibil pentru a scrie răspunsul în termeni de
# # E_0 deoarece#n = 0 # NU există pentru binele potențial infinit. Doar dacă nu vrei particula dispărea , Trebuie să o scriu în termeni de# # E_n ,#n = 1, 2, 3,… # … -
Energia este o constantă a mișcării, adică
# (d << E >>) / (dt) = 0 # …
Asa ca acum…
#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt
Valoarea așteptărilor este o constantă a mișcării, deci nu ne pasă ce oră
# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # pentru unii#n = 1, 2, 3,… #
De fapt, știm deja ce ar trebui să fie, din moment ce Hamiltonianul pentru binele unidimensional potențial infinit este timpul - INDEPENDENT …
#hatH =-^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #
# (delhatH) / (delt) = 0 #
si
#color (albastru) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ * * (x, t) hatHPhi_1 (x, t) (X, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) unde am lăsat-o
#Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) # . Din nou, toți factorii de fază se anulează și observăm că termenii off-diagonali ajung la zero din cauza ortogonalității# # Phi_n .
Numitorul este norma
#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 # .
Prin urmare,
= (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) (D / 2) / (dx2) sin ((pix) / L) anula (e ^ int (0) ^ (L) sin (2pix) / L) anula (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) ((2pix) / L) anula (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #
Aplicați instrumentele derivate:
= (1) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) pixel / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #
Constantele plutesc:
= (2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L)) dx + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) #
Și acest integral este cunoscut din motive fizice pentru a fi la jumătatea distanței dintre
(2 / L) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) L) L / 2 #
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2)
# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #
# = culoare (albastru) (14/5 E_1) #
Răspuns:
Explicaţie:
Fiecare stare staționară corespunzătoare valorii proprii a energiei
Deci, funcția de undă de pornire
evoluează în timp
Astfel, valoarea așteptărilor energetice în timp
unde am folosit faptul că
Acest lucru ne oferă nouă termeni. Cu toate acestea, calculul final este simplificat foarte mult prin faptul că funcțiile eigen sunt energetic orto-normalizate, adică ei ascultă
Asta înseamnă că dintre cele nouă integrale, doar trei supraviețuiesc și ajungem
Folosind rezultatul standard că
Notă:
- În timp ce funcțiile individuale ale energiei individuale evoluează în timp prin preluarea unui factor de fază, funcția globală a undelor nu diferă de cel inițial doar printr-un factor de fază - de aceea nu mai este o stare staționară.
- Integalele implicate au fost asemănătoare
# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i_E_j) infty psi_i (x) psi_j (x) dx # și acestea par a fi dependente de timp. Cu toate acestea, singurele integrale care supraviețuiesc sunt cele pentru
# I = j # - și acestea sunt tocmai cele pentru care se anulează dependența de timp. - Ultimele rezultate se potrivesc cu faptul că
#hat {H} # este conservată - chiar dacă statul nu este o stare staționară - valoarea așteptărilor energetice este independentă de timp. - Funcția inițială de undă a fost deja normalizată de atunci
(sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # iar această normalizare este păstrată în evoluția timpului. - Am fi putut face o mulțime de lucru dacă am fi utilizat un rezultat standard cuantic mecanic - dacă o funcție de undă este extinsă sub forma
#psi = sum_n c_n phi_n # unde# # Phi_n sunt funcțiile proprii ale unui operator hermitian#hat {A} # ,#hat {A} phi_n = lambda_n phi_n # , atunci# <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n # , cu condiția ca, bineînțeles, statele să fie normalizate corespunzător.