Întrebarea # bfe81

Răspuns:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (-2n 2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

Explicaţie:

Știm următoarea serie Maclaurin #ln (x + 1) #:

#ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

Putem găsi o serie pentru #ln (x ^ 2 + 1) # prin înlocuirea tuturor #X#e cu # X ^ 2 #:

#ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Acum ne putem împărți # X ^ 2 # pentru a găsi seria pe care o căutăm:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = #

# = Sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = #

# = X ^ (2-2) -x ^ (2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2-2) / 4 … = #

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

care este seria pe care o căutam.