Dovediți sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (ictan (b / a)) = a + bi?

Răspuns:

În Explicație

Explicaţie:

Pe un plan normal de coordonate, avem coordonate ca (1,2) și (3,4) și așa ceva. Putem reexprima aceste coordonate în termeni de raze și unghiuri. Deci, dacă avem punctul (a, b), înseamnă că mergem unități spre dreapta, unități b și #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ca distanța dintre origine și punct (a, b). Voi suna #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Deci avem # Re ^ arctan (b / a) #

Acum, pentru a termina această probă, să ne amintim o formulă.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funcția arc tan mi-a dat un unghi care este, de asemenea, theta.

Deci avem următoarea ecuație:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)

Acum permiteți desenarea unui triunghi drept.

Arctanul lui (b / a) îmi spune că b este partea opusă și a este partea adiacentă. Deci dacă vreau cosul arctanului (b / a), vom folosi teorema pithagoreană pentru a găsi hypotenuse. Hipotensiunea este #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Deci, cos (arctan (b / a)) = adiacente peste hypotenuse = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Cea mai bună parte a acestui lucru este faptul că același principiu se aplică și sinusurilor. Deci păcatul (arctan (b / a)) = opus peste hypotenuse = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Deci, acum putem re-exprima răspunsul nostru ca acesta: #R * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Dar amintește-ți # r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # așa că acum avem: # r * ((a / r) + (bi / r)) #. R-urile se anulează și aveți următoarele: # A + bi #

Prin urmare, # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #