Întrebarea # 69feb

Răspuns:

Linie normală: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Linie tangentă: #y = e ^ 2 -e ^ 2 #.

Explicaţie:

Pentru intuiție: Imaginați-vă că funcția #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # descrie înălțimea unui anumit teren, unde #X# și # Y # sunt coordonatele în plan și #ln (y) # se presupune a fi logaritmul natural. Atunci totul #(X y)# astfel încât #f (x, y) = a # (înălțimea) este egală cu unele constante #A# se numesc curbe de nivel. În cazul nostru, înălțimea constantă #A# este zero, deoarece #f (x, y) = 0 #.

S-ar putea să fiți familiarizați cu hărți topografice, în care liniile închise indică linii de înălțime egală.

Acum, gradientul = (f (x, y) = ((parțial f) / (parțial x), (parțial f) / (parțial x) # ne dă direcția într-un punct #(X y)# in care #f (x, y) # (înălțimea) schimbă cel mai rapid. Acesta este fie drept, fie drept în jos pe deal, atâta timp cât terenul nostru este neted (ușor de diferențiat) și nu suntem pe un vârf, pe un fund sau pe un platou (un punct extremum). Aceasta este de fapt direcția normală la o curbă de înălțime constantă, astfel încât la # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

# (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^.

De aceea linia normală în direcția aceea care trece prin # (2, e ^ 2) # poate fi descris ca

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1), Unde #s în mathbbR # este un parametru real. Poți elimina # S # a exprima # Y # ca o funcție a #X# dacă preferați, să găsiți

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Derivatul direcțional în direcția tangentă trebuie să fie #0# (ceea ce înseamnă că înălțimea nu se schimbă), deci un vector tangent # (U, v) # trebuie să satisfacă

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, Unde # # Cdot înseamnă produsul dot. Asa de # (u, v) = (1, e ^ 2) # este o alegere valabilă. De aceea linie tangentă a trece prin # (2, e ^ 2) # poate fi descris ca

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2), #t în mathbbR #.

Rezolvarea pentru # Y # da asta

#y = e ^ 2 -e ^ 2 #.

În cele din urmă, ar trebui să verificați asta # (2, e ^ 2) # se află pe curbă #f (x, y) #, pe linia tangentă și pe linia normală.