Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = x ^ 2 + 9x +1?
Anonim

Răspuns:

Parabolele au exact o extremă, vârful.

Este #(-4 1/2, -19 1/4)#.

De cand # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # oriunde funcția este concavă peste tot și acest punct trebuie să fie minim.

Explicaţie:

Aveți două rădăcini în găsirea vârfului parabolei: una, folosiți calculul pentru a afla dacă derivatul este zero; două, evitați calculul cu orice preț și completați pătratul. Vom folosi calculul pentru practică.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, trebuie să luăm derivatul acestui lucru.

{d ^ (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Prin liniaritatea derivatului pe care îl avem

(dx) / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx.

Utilizând regula de alimentare, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # noi avem

(d) (x) = dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x +.

Am stabilit acest lucru egal cu zero pentru a găsi punctele critice, minimele și maximele locale și globale și, uneori, punctele de inflexiune au derivate de zero.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

deci avem un punct critic la # X = -9/2 # sau #-4 1/2#.

Pentru a găsi coordonata y a punctului critic pe care îl submităm în # X = -9/2 # înapoi în funcție, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Punctul / vârful critic este #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Știm asta pentru că #A> 0 #, acesta este un maxim.

Pentru a găsi în mod oficial dacă este o maximă sau minimă, trebuie să facem al doilea test derivat.

(d) / dx (9) = 2 + 0 = 2 # (d)

Al doilea derivat este 2 la toate valorile lui x. Aceasta înseamnă că este mai mare decât zero peste tot, iar funcția este concavă peste tot (este o parabolă cu #A> 0 # după toate), astfel încât extrema trebuie să fie un minim, vârful.