Răspuns:
#= 6 # unități cubice
Explicaţie:
vectorul normal este #((2),(3),(1))# care indică în direcția octantului 1, deci volumul în cauză este sub planul și în octanul 1
putem re-scrie planul ca #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
pentru #z = 0 # noi avem
- # z = 0, x = 0 implică y = 2 #
- # z = 0, y = 0 implică x = 3 #
și
- - # x = 0, y = 0 implică z = 6 #
aceasta este următoarea:
volumul de care avem nevoie este
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 -
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y-2xy-3 / 2y ^ 2
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3 x) = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6-4 x + 2/3 x ^ 2 dx #
# = 6x-2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3)
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Răspuns:
6
Explicaţie:
Vom realiza un triple integral.
Sistemul de coordonate cartesian este cel mai aplicabil. Ordinea de integrare nu este critică. Vom merge la primul, la mijloc, la ultimul.
#underline ("Determinarea limitelor") #
In avion #z = 6 - 2x - 3y # și pe planul de coordonate #z = 0 # prin urmare
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
de-a lungul # Z = 0 #, # Y # merge de la 0 la # 3y = 6 - 2x # prin urmare
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
de-a lungul # y = 0, z = 0 # prin urmare
#x: 0 rarr 3 #
Vom găsi volumul astfel #f (x, y, z) = 1 #. Integral devine
# Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy-3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6-2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2)
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 /
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2)
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
