Dovedește: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

A dovedi # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Lăsa # cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Acum # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Spectacol

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3) #

Uneori, trig este mai puțin despre a face matematică și mai multe despre recunoașterea matematică atunci când o vedem. Aici recunoaștem # 4x ^ 3 -3x # ca și formula cosinus triple angle, # cos (3 theta) # cand # x = cos theta #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # este de asemenea numit # T_3 (x) #, al treilea polinom Chebyshev de primul tip. În general, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Vom presupune # # Arccos se referă la valoarea principală. Prefer să-i sun pe director #text {Arc} Text {cos} # dar e greu de scris.

Fundal suficient. Odată ce am recunoscut formula de unghi triplă, dovada este ușoară.

dovadă:

Lăsa #theta = arccos x. #

# x = cosul theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccoșe (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #