Care este comportamentul final al funcției f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # la fel de #X -> infty # (#ln (x) # creste fara nici o legatura #X# crește fără legături) și #f (x) = ln (x) -> - infty # la fel de # x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # crește fără nici o legătură în direcția negativă #X# apropie zero de la dreapta).

Pentru a dovedi primul fapt, trebuie, în esență, să arătați că funcția în creștere #f (x) = ln (x) # nu are asimptote orizontale ca #X -> infty #.

Lăsa #M> 0 # fie un număr pozitiv dat (indiferent cât de mare este). Dacă #X> e ^ {M} #, atunci #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (de cand #f (x) = ln (x) # este o funcție în creștere). Acest lucru dovedește că orice linie orizontală # Y = M # nu poate fi o asimptotă orizontală #f (x) = ln (x) # la fel de #X -> infty #. Faptul că #f (x) = ln (x) # este o funcție în creștere care implică acum acest lucru #f (x) = ln (x) -> infty # la fel de # X-> infty #.

Pentru a dovedi cel de-al doilea fapt, lasa #M> 0 # fie un număr pozitiv dat, astfel încât # -M <0 # este un număr negativ dat (indiferent cât de departe este zero). Dacă # 0 <x <e ^ {- M} #, atunci #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (de cand #f (x) = ln (x) # creste). Acest lucru dovedește acest lucru #f (x) = ln (x) # devine sub orice linie orizontală dacă # 0 <x # este suficient de aproape de zero. Asta inseamna #f (x) = ln (x) -> - infty # la fel de # x -> 0 ^ {+} #.