Rezolva ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Răspuns:

O schiță rapidă …

Explicaţie:

Dat:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 " cu #a! = 0 #

Acest lucru devine murdar destul de repede, așa că voi da doar o schiță de o metodă …

Înmulțit cu # 256a ^ 3 # și înlocuitor #t = (4ax + b) # pentru a obține o cartiță monică deprimată a formei:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Rețineți că, deoarece aceasta nu are niciun termen în # T ^ 3 #, aceasta trebuie să ia în considerare:

#t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B)

#Color (alb) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 +

Ecuarea coeficienților și rearanjarea puțin, avem:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A)

Deci, găsim:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (alb) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (alb) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplicarea, multiplicarea cu # A ^ 2 # și rearanjarea ușor, acest lucru devine:

(A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d)

Acest lucru "cubic in # A ^ 2 #"are cel puțin o rădăcină reală. În mod ideal, are o rădăcină reală pozitivă care dă două valori reale posibile pentru #A#. Indiferent, orice rădăcină a cubului va face.

Având în vedere valoarea #A#, noi avem:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A)

# C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A)

Prin urmare, avem două quadratice pentru a rezolva.