Cum să găsim distanța de la punctul A (3, -5,5) la linia x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t?

Răspuns:

# 5 / sqrt6 #

există o ecuație

# X + 2y + z-3 = 0 #

utilizați formula distanței

=# ((1 * 3-5 * 2 + 5 * 1) -3) / sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) #

=# -5 / sqrt6 #

#abs (-5 / sqrt6) #

=# 5 / sqrt6 #

#sqrt 83/2 #

Definire

# p_0 = {2, 1, -1} #

#vec v = {3, -2,1} #

# P_A = {3, -5,5} #

trebuie să determinăm distanța dintre linie

# r-> p_0 + t vec v # și punctul # # P_A

Folosind Pitagoras avem

#a = normă (p_a-p_0) #

#b = abs (<< p_A-p_0, (vec v) / normă (vec v) >>) #

#d = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) # care este distanța căutată

# a = sqrt ((3-2) ^ 2 + (- 5-1) ^ 2 + (5 + 1) ^ 2 #

(vec v) / normă (vec v) = ({3, -2,1}) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1)

#b = abs (((3-2) cdot 3+ (5 + 1) cdot 2+ (5 + 1) cdot 1) / sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 +

In cele din urma

#d = sqrt 83/2 #

#sqrt (83/2). #

Noi găsim co-orade. a piciorului # # M de la perp. din #A (3, -5,5) # pe linia dată #L: x = 2 + 3t, y = 1-2t, z = -1 + t, t în RR #

Luăm o notă că de atunci # M în L, M (2 + 3t, 1-2t, -1 + t) # pentru unii #t în RR. #

De asemenea #A (3, -5,5) rArr vec (AM) = (2 + 3t-3,1-2t + 5, -1 + t-5) = (3t-1,6-2t, #

Vectorul de direcție # # Vecl de linie # L # este # Vecl = (3, -2,1) #

Știind că #vec (AM) # este perp. la # # Vecl, noi avem, #v (0) = 0 rArr (3t-1,6-2t, t-6) (3, -2,1) = 0 #

#:. 3 (3t-1) -2 (6-2t) + (t-6) = 0 #

#:. 9t-3-12 + 4t + t-6 = 0 #

#:. 14t = 21 rArr t = 3/2 rArr vec (AM) = (9 / 2-1,6-3,3 / 2-6) = (7 / 2,3, -9 / 2)

Prin urmare, Dist. # AM = || vec (AM) || = sqrt {49/4 + 9 + 81/4) = sqrt (166/4) = sqrt (83/2), # așa cum rezultă din Cesareo R. Domnule!

Bucurați-vă de matematică. & răspândiți bucuria!